Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une charge équilibrée couplée en étoile (Y), d’impédance 7 + j24 Ω par phase, est branchée sur un réseau triphasé équilibré de tension composée 400 V. Trouvez la puissance active totale P absorbée par la charge, en kW.
Une charge triphasée équilibrée absorbe 100 kW avec un facteur de puissance de 0,72 (inductif) sur un réseau de 690 V (tension composée), 60 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,95 (inductif). La puissance active reste la même. Trouvez la puissance réactive totale QC que doit fournir la batterie de condensateurs, en kvar.
Un transformateur parfait de rapport N₁:N₂ = 10:1 a son enroulement primaire sous 2300 V. Une résistance de 20 Ω est branchée aux bornes de l’enroulement secondaire. Trouvez le courant primaire I1.
Un transformateur monophasé de 75 kVA a des pertes fer de 450 W et des pertes cuivre de 1800 W à charge nominale. À quelle charge Sη,max, en kVA, son rendement est-il maximal ?
Un moteur monophasé absorbe 2 kW avec un facteur de puissance de 0,6 inductif sous 230 V. Trouvez la puissance réactive Q qu’il absorbe.
Une charge monophasée absorbe 40 kW avec un facteur de puissance de 0,75 inductif sous 400 V, 50 Hz. Un condensateur branché en parallèle relève le facteur de puissance à 0,92. Trouvez la capacité C nécessaire.
Une résistance et une bobine sont branchées en parallèle sur une alimentation de 120 V (efficace), 60 Hz. Trouvez le courant efficace I.
Un circuit RLC série a R = 5 Ω, L = 100 mH et C = 2,2 µF. Trouvez son facteur de qualité Q à la résonance.
Un moteur à courant continu (k = 0,4 N·m/A, Ra = 0,8 Ω) est alimenté sous 120 V et entraîne une charge de couple 8 N·m. Trouvez sa vitesse n en rpm.
Un moteur à courant continu à excitation indépendante (k = 0,2 V·s/rad à plein champ, Ra = 1 Ω, V = 24 V) entraîne une charge de couple constant 0,4 N·m. Le flux d’excitation est réduit à 70 % de sa valeur maximale. Trouvez la nouvelle vitesse n.
Réponse: P = 1,792 kW
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Seule la partie résistive de chaque impédance absorbe de la puissance active.
Vérification : cos φ = R/|Z| = 0,28, et √3·VL·IL·cos φ donne la même puissance.
Réponse: QC = 63,52 kvar
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Réponse: I1 = 1,15 A
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Un transformateur parfait n’a pas de pertes : V₁·I₁ = V₂·I₂.
Vérification : la charge vue du primaire vaut a²·RL = 2000 Ω, et 2300/2000 donne le même courant.
Réponse: Sη,max = 37,5 kVA
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.
Réponse: Q = 2,667 kvar
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Réponse: C = 362,8 µF
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
La puissance active P ne change pas ; seule la puissance réactive prélevée sur le réseau change.
Un condensateur sur le réseau fournit Q = V²·ωC.
Réponse: I = 2,88 A
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Les deux branches sont branchées directement sur l’alimentation, donc chacune est soumise à toute la tension V.
Le courant dans la résistance est en phase avec V et le courant réactif est déphasé de 90°, donc ils se combinent comme les côtés d’un triangle rectangle.
Réponse: Q = 42,64
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Q compare la réactance à la résonance à la résistance : Q = ω₀L/R.
Réponse: n = 2483 rpm
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
Réponse: n = 1442 rpm
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
L’affaiblissement du champ permet à un variateur de moteur à courant continu de dépasser sa vitesse de base.
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