Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Un moteur asynchrone triphasé fournit 55 kW de puissance mécanique utile à pleine charge. À cette charge, son rendement est de 88 % et son facteur de puissance vaut 0,88 (inductif). Le réseau a une tension composée de 480 V. Trouvez le courant de ligne IL.
Une charge triphasée équilibrée absorbe 100 kW avec un facteur de puissance de 0,72 (inductif) sur un réseau de 415 V (tension composée), 50 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,9 (inductif). La puissance active reste la même. Trouvez la puissance réactive totale QC que doit fournir la batterie de condensateurs, en kvar.
Un amplificateur de résistance de sortie 800 Ω alimente un haut-parleur de 8 Ω à travers un transformateur parfait. Pour un transfert de puissance maximal, le haut-parleur doit être vu comme 800 Ω depuis l’amplificateur. Trouvez le rapport de transformation a = N₁/N₂.
Un transformateur monophasé de 100 kVA a des pertes fer de 600 W et des pertes cuivre de 1200 W à charge nominale. À quelle charge Sη,max, en kVA, son rendement est-il maximal ?
Un moteur monophasé absorbe 35 kW avec un facteur de puissance de 0,7 inductif sous 400 V. Trouvez la puissance réactive Q qu’il absorbe.
Une charge monophasée absorbe 5 kW avec un facteur de puissance de 0,75 inductif sous 400 V, 60 Hz. Un condensateur branché en parallèle relève le facteur de puissance à 0,95. Trouvez la capacité C nécessaire.
Un circuit RLC série est alimenté sous 24 V (efficaces), 100 Hz. Trouvez le déphasage φ de l’impédance, en degrés (positif quand le courant est en retard sur la tension).
Un circuit RLC série est alimenté par une source de 1 V (efficace) dont la fréquence est réglée sur la fréquence de résonance du circuit. Trouvez la tension efficace VL aux bornes de la bobine.
Un moteur à courant continu (k = 0,25 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) est alimenté sous 48 V. À pleine charge, il absorbe 20 A. En négligeant le courant à vide, trouvez sa variation de vitesse SR = (n₀ − nFL)/nFL en pourcentage.
Un moteur à courant continu à excitation indépendante, alimenté sous 220 V (Ra = 0,8 Ω), tourne à 1800 rpm avec un courant d’induit de 30 A. La charge change et le courant devient 15 A, le champ restant inchangé. Trouvez la nouvelle vitesse n2.
Réponse: IL = 85,43 A
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Réponse: QC = 47,95 kvar
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Réponse: a = 10
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Réponse: Sη,max = 70,71 kVA
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.
Réponse: Q = 35,71 kvar
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Réponse: C = 45,86 µF
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
La puissance active P ne change pas ; seule la puissance réactive prélevée sur le réseau change.
Un condensateur sur le réseau fournit Q = V²·ωC.
Réponse: φ = 69,44 °
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
Réponse: VL = 6,325 V
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
À la résonance, les réactances s’annulent, donc l’impédance se réduit à R.
Cela fait Q = 6,325 fois la tension d’alimentation.
Réponse: SR = 9,091 %
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
Réponse: n2 = 1910 rpm
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
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