Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une charge triphasée équilibrée absorbe un courant de ligne de 50 A sur un réseau de tension composée 208 V. Le facteur de puissance vaut 0,7 (inductif). Trouvez la puissance active totale P absorbée par la charge, en kW.
Une charge triphasée équilibrée absorbe 75 kW avec un facteur de puissance de 0,72 (inductif) sur un réseau de 480 V (tension composée), 50 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,95 (inductif). La puissance active reste la même. Les condensateurs sont couplés en triangle (Δ). Trouvez la capacité Cph de chaque condensateur, en µF.
Un amplificateur de résistance de sortie 5000 Ω alimente un haut-parleur de 50 Ω à travers un transformateur parfait. Pour un transfert de puissance maximal, le haut-parleur doit être vu comme 5000 Ω depuis l’amplificateur. Trouvez le rapport de transformation a = N₁/N₂.
Un transformateur monophasé de 250 kVA a des pertes fer de 1500 W et des pertes cuivre de 6000 W à charge nominale. Il fournit 75 % de sa puissance apparente nominale avec un facteur de puissance de 0,85 (inductif). Trouvez les pertes totales Ploss en watts à cette charge.
Un moteur monophasé absorbe 1 kW avec un facteur de puissance de 0,9 inductif sous 400 V. Trouvez la puissance réactive Q qu’il absorbe.
Une charge monophasée absorbe 35 kW avec un facteur de puissance de 0,75 inductif sous 400 V, 50 Hz. Un condensateur branché en parallèle relève le facteur de puissance à 0,9. Trouvez la capacité C nécessaire.
Un circuit RLC série est alimenté sous 230 V (efficaces), 100 Hz. Trouvez le déphasage φ de l’impédance, en degrés (positif quand le courant est en retard sur la tension).
Un circuit RLC série a R = 20 Ω, L = 5 mH et C = 0,01 µF. Trouvez sa bande passante B (la largeur de la bande comprise entre les fréquences de demi-puissance), en Hz.
Un moteur à courant continu avec k = 0,8 N·m/A et Ra = 0,2 Ω est branché sur 240 V. Trouvez son couple de blocage Tstall, le couple à vitesse nulle.
Un moteur à courant continu à excitation indépendante, alimenté sous 240 V (Ra = 0,5 Ω), tourne à 1440 rpm avec un courant d’induit de 40 A. La charge change et le courant devient 10 A, le champ restant inchangé. Trouvez la nouvelle vitesse n2.
Réponse: P = 12,61 kW
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Réponse: Cph = 219,4 µF
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Dans une batterie en triangle, chaque condensateur est branché entre deux phases.
Réponse: a = 10
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Réponse: Ploss = 4875 W
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.
Les pertes fer sont les mêmes quelle que soit la charge.
Le rendement à cette charge vaut η = 97,03%.
Réponse: Q = 0,4843 kvar
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Réponse: C = 276,8 µF
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
La puissance active P ne change pas ; seule la puissance réactive prélevée sur le réseau change.
Un condensateur sur le réseau fournit Q = V²·ωC.
Réponse: φ = −6,78 °
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
Réponse: B = 636,6 Hz
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Q compare la réactance à la résonance à la résistance : Q = ω₀L/R.
Réponse: Tstall = 960 N·m
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
Réponse: n2 = 1538 rpm
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
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