Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une charge triphasée équilibrée absorbe un courant de ligne de 100 A sur un réseau de tension composée 208 V. Le facteur de puissance vaut 0,85 (inductif). Trouvez la puissance active totale P absorbée par la charge, en kW.
Une charge triphasée équilibrée absorbe 250 kW avec un facteur de puissance de 0,8 (inductif) sur un réseau de 480 V (tension composée), 60 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,98 (inductif). La puissance active reste la même. Trouvez la puissance réactive totale QC que doit fournir la batterie de condensateurs, en kvar.
Un transformateur parfait de rapport N₁:N₂ = 10:1 a son enroulement primaire sous 2300 V. Une résistance de 4 Ω est branchée aux bornes de l’enroulement secondaire. Trouvez le courant primaire I1.
Un transformateur monophasé de 500 kVA a des pertes fer de 4000 W et des pertes cuivre de 12000 W à charge nominale. Il fournit 50 % de sa puissance apparente nominale avec un facteur de puissance de 0,95 (inductif). Trouvez les pertes totales Ploss en watts à cette charge.
Un moteur monophasé absorbe 34 kW avec un facteur de puissance de 0,7 inductif sous 240 V. Trouvez la puissance réactive Q qu’il absorbe.
Une source de 24 V (efficace), 1000 Hz a une impédance interne Zs = 2 + j15 Ω. L’impédance de charge ZL peut être choisie librement. Trouvez la puissance active maximale Pmax qui peut être fournie à la charge.
Une résistance et une bobine sont branchées en parallèle sur une alimentation de 24 V (efficace), 500 Hz. Trouvez le déphasage φ de l’impédance, en degrés (positif quand le courant est en retard sur la tension).
Un circuit RLC série est alimenté par une source de 5 V (efficace) dont la fréquence est réglée sur la fréquence de résonance du circuit. Trouvez la tension efficace VL aux bornes de la bobine.
Un moteur à courant continu absorbe 6 A sous une alimentation de 220 V. Sa résistance d’induit est de 2 Ω et ses pertes mécaniques (frottements, ventilation et fer) sont de 100 W. Trouvez son rendement η.
Un moteur à courant continu avec k = 0,75 V·s/rad et Ra = 0,5 Ω doit entraîner une charge de 18,75 N·m à 300 rpm. Trouvez la tension d’induit V nécessaire.
Réponse: P = 30,62 kW
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Réponse: QC = 136,7 kvar
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Réponse: I1 = 5,75 A
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
Un transformateur parfait n’a pas de pertes : V₁·I₁ = V₂·I₂.
Vérification : la charge vue du primaire vaut a²·RL = 400 Ω, et 2300/400 donne le même courant.
Réponse: Ploss = 7000 W
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.
Les pertes fer sont les mêmes quelle que soit la charge.
Le rendement à cette charge vaut η = 97,14%.
Réponse: Q = 34,69 kvar
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Réponse: Pmax = 72 W
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
La réactance de la charge compense celle de la source, et la résistance de la charge est égale à celle de la source.
Réponse: φ = 32,48 °
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
Les deux branches sont branchées directement sur l’alimentation, donc chacune est soumise à toute la tension V.
Le courant dans la résistance est en phase avec V et le courant réactif est déphasé de 90°, donc ils se combinent comme les côtés d’un triangle rectangle.
Le courant dans la bobine est en retard sur V, donc le courant total est en retard et l’angle est positif.
Réponse: VL = 149,1 V
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
À la résonance, les réactances s’annulent, donc l’impédance se réduit à R.
Cela fait Q = 29,81 fois la tension d’alimentation.
Réponse: η = 86,97 %
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
Réponse: V = 36,06 V
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
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