Méthodologie de la recherche et statistiques en psychologie : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 16 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

Tests du khi-deux

Statistique de test: χ² = Σ(O − E)²/E
Ajustement: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indépendance: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valeurs critiques (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Décision: rejeter H₀ si χ² > χ²_crit

2Exercices

1.Méthodes de recherche en psychologieMoyen

Un chercheur étudie l'effet du genre sur des scores de mémoire. Pourquoi s'agit-il d'une quasi-expérience plutôt que d'une véritable expérience ?

ALa VD n'est pas mesurée
BL'étude se déroule en laboratoire
CLa VI est une caractéristique préexistante, les participants ne peuvent donc pas y être répartis au hasard
DIl n'y a que deux conditions, et une véritable expérience exige au moins trois niveaux de la VI

2.Méthodes de recherche en psychologieDifficile

Une ANOVA factorielle 2 × 3 montre qu'un médicament améliore la mémoire chez les jeunes adultes, mais pas chez les adultes âgés. Qu'a-t-on trouvé ?

AUn effet plancher
BUne interaction entre le médicament et l'âge
CUne erreur de type I
DUniquement un effet principal de l'âge

3.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 52, 44, 39, 56, 49.

n = 5

s =

4.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 60. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 470 ?

μ = 500σ = 60x = 470

P =

5.ProbabilitésMoyen

De combien de façons N peut-on choisir un comité de 4 personnes parmi un groupe de 14 ? L'ordre ne compte pas.

n = 14k = 4

N =

6.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 10 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 5 bonnes réponses ?

n = 10p = 0,7k = 5

P =

7.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,9838. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,9838

z =

8.Loi normaleDifficile

Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,04 mm et d’écart-type 0,02 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,02 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.

alésage: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Intervalles de confianceMoyen

On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 40 téléphones, moyenne 116,5 h, écart-type connu 10 h. Modèle 2 : 60 téléphones, moyenne 122,5 h, écart-type connu 20 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 116,5 hσ₁ = 10 hn₂ = 60x̄₂ = 122,5 hσ₂ = 20 h99%

borne supérieure = h

10.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 56 kg, écart-type 4,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 9 parcelles, moyenne 58,5 kg, écart-type 1,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 56s₁ = 4,5n₂ = 9x̄₂ = 58,5s₂ = 1,599%t(12) = 3,055

borne inférieure = kg

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 70,87 et un écart-type d'échantillon de 12. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 70,87s = 12n = 81

t =

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 90 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 0,5 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 15E = 0,590%

n =

13.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.

n = 6

r =

14.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (4, 42). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(4, 42)

e =

15.Tests du khi-deuxMoyen

Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Pour un test d’indépendance du khi-deux, trouvez l’effectif attendu E de la case « équipe de jour, majeur ».

total de la ligne = 95total de la colonne = 58N = 176

E =

16.Tests du khi-deuxDifficile

Un test d’indépendance du khi-deux est effectué sur un tableau de contingence de 3 lignes et 3 colonnes (sans compter les totaux). À l’aide de la table, trouvez la valeur critique χ²_crit au seuil de signification α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Solutions

1.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: C · La VI est une caractéristique préexistante, les participants ne peuvent donc pas y être répartis au hasard

Pourquoi c'est la réponse

Dans une quasi-expérience, la VI est une différence naturelle entre les personnes. Sans répartition aléatoire, d'autres différences entre les groupes peuvent confondre les résultats.

Réponse

C · La VI est une caractéristique préexistante, les participants ne peuvent donc pas y être répartis au hasard

2.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: B · Une interaction entre le médicament et l'âge

Pourquoi c'est la réponse

Il y a interaction lorsque l'effet d'un facteur diffère selon les niveaux d'un autre. Ici, l'effet du médicament dépend du groupe d'âge.

Réponse

B · Une interaction entre le médicament et l'âge

3.Statistique descriptive

Réponse: s = 6,671

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 240/5 = 48

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 4² + (−4)² + (−9)² + 8² + 1² = 178

Écart-type

s = √(178/4) = 6,671

Réponse

s = 6,671

4.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,6915

Centrer-réduire

z = −0,5

Table de la loi normale

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Réponse

P = 0,6915

5.Probabilités

Réponse: N = 1001

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaisons

C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001

Réponse

N = 1001

6.Probabilités

Réponse: P = 0,1029

Formule binomiale

P(X = 5) = 252·0,7⁵·0,3⁵ = 252·0,1681·0,00243 = 0,1029

Réponse

P = 0,1029

7.Loi normale

Réponse: z = −2,14

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = 1 − 0,9838 = 0,0162

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,0162 dans la table et lisez z.

z = −2,14

Réponse

z = −2,14

8.Loi normale

Réponse: P = 0,9207

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², donc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi de la différence

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm

Centrer-réduire

z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41

Probabilités

P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207

Réponse

P = 0,9207

9.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 1,799 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimation ponctuelle

x̄₁ − x̄₂ = 116,5 − 122,5 = −6

Erreur type

SE = √(10²/40 + 20²/60) = 3,028

Marge d'erreur

E = 2,576·3,028 = 7,799

Intervalle

−6 ± 7,799 → [−13,8, 1,799]

Réponse

borne supérieure = 1,799 h

L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.

10.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = −7,394 kg

Écart-type commun

s_p² = (4·4,5² + 8·1,5²)/12 = 8,25

s_p = 2,872

Marge d'erreur

E = 3,055·2,872·√(1/5 + 1/9) = 4,894

Intervalle

−2,5 ± 4,894 → [−7,394, 2,394]

Réponse

borne inférieure = −7,394 kg

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −3,097

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Statistique de test

t = (70,87 − 75)/1,333 = −3,097

Réponse

t = −3,097

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 2436

Résoudre pour n

n = (1,645·15/0,5)² = 2435

Arrondir vers le haut

n = 2436

Réponse

n = 2436

13.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = −0,9316

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 104/6 = 17,33

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 85,33

Coefficient de corrélation

r = −36/√(17,5·85,33) = −0,9316

Réponse

r = −0,9316

14.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = −3,2

Moyennes

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 252/5 = 50,4

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

Droite de régression

b = 208/40 = 5,2

a = 50,4 − 5,2·5 = 24,4

ŷ = 24,4 + 5,2·x

Valeur prédite

ŷ = 24,4 + 5,2·4 = 45,2

Résidu

e = 42 − 45,2 = −3,2

Réponse

e = −3,2

Le point se trouve en dessous de la droite.

15.Tests du khi-deux

Réponse: E = 31,31

Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.

Effectif attendu

E = 95·58/176 = 31,31

Réponse

E = 31,31

16.Tests du khi-deux

Réponse: χ²_crit = 9,488

Degrés de liberté

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Table

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Réponse

χ²_crit = 9,488

Rejetez H₀ si le χ² calculé est supérieur à cette valeur.

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