Méthodologie de la recherche et statistiques en psychologie : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 16 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

Tests du khi-deux

Statistique de test: χ² = Σ(O − E)²/E
Ajustement: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indépendance: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valeurs critiques (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Décision: rejeter H₀ si χ² > χ²_crit

2Exercices

1.Méthodes de recherche en psychologieMoyen

Une étude est préenregistrée. Cela signifie que :

ALes résultats ont été vérifiés et approuvés par un second statisticien indépendant avant publication
BLes hypothèses, les méthodes et le plan d'analyse sont enregistrés publiquement avant le recueil des données
CL'étude a déjà été publiée
DLes participants enregistrent leur consentement en ligne

2.Méthodes de recherche en psychologieDifficile

Quel est le but principal de l'affectation aléatoire aux conditions dans une expérience ?

AS'assurer que les participants ne connaissent pas l'objectif
BAugmenter le taux de réponse
CRépartir uniformément les variables liées aux participants pour qu'elles ne faussent pas les résultats
DRendre l'échantillon représentatif de la population cible pour que les résultats se généralisent

3.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 36, 45, 20, 17, 57, 43, 42.

n = 7

s =

4.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 158 ?

μ = 170σ = 12x = 158

P =

5.ProbabilitésMoyen

De combien de façons N peut-on choisir un comité de 5 personnes parmi un groupe de 8 ? L'ordre ne compte pas.

n = 8k = 5

N =

6.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 8 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,4, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 1 bonnes réponses ?

n = 8p = 0,4k = 1

P =

7.Loi normaleMoyen

On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 30,5 et 43,1 min ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 43,1

P =

8.Loi normaleDifficile

On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 95 % des valeurs (le 95e centile).

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

9.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 75,5 et un écart-type s = 5,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

n = 9x̄ = 75,5s = 5,590%t(8) = 1,86

borne inférieure =

10.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 17. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 5 ?

σ = 17E = 595%

n =

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 16 étudiants a une note moyenne de 208,5 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 208,5s = 20n = 16

t =

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 36 mesures a une moyenne de 72. L'écart-type de la population est 12. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

x̄ = 72σ = 12n = 3699%

U =

13.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 5Σx = 30Σy = 131Σx² = 220Σy² = 4015Σxy = 938

r =

14.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

15.Tests du khi-deuxMoyen

Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Calculez la statistique du khi-deux χ² du test d’indépendance entre la variable en ligne et la variable en colonne. N’utilisez pas de correction de continuité.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Tests du khi-deuxDifficile

Le tableau indique les effectifs observés. Testez au seuil α = 0,05 si les deux variables sont indépendantes (sans correction de continuité). Calculez la statistique de test χ², puis comparez-la à la valeur critique de la table.

N = 1603 × 2α = 0,05

χ² =

3Solutions

1.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: B · Les hypothèses, les méthodes et le plan d'analyse sont enregistrés publiquement avant le recueil des données

Pourquoi c'est la réponse

Le préenregistrement sépare les analyses confirmatoires des analyses exploratoires et réduit des pratiques comme le p-hacking et le HARKing.

Réponse

B · Les hypothèses, les méthodes et le plan d'analyse sont enregistrés publiquement avant le recueil des données

2.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: C · Répartir uniformément les variables liées aux participants pour qu'elles ne faussent pas les résultats

Pourquoi c'est la réponse

L'affectation aléatoire équilibre les différences individuelles entre conditions et appuie les conclusions causales. L'échantillonnage aléatoire concerne la généralisation à une population.

Réponse

C · Répartir uniformément les variables liées aux participants pour qu'elles ne faussent pas les résultats

3.Statistique descriptive

Réponse: s = 14,23

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 260/7 = 37,14

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−1,143)² + 7,857² + (−17,14)² + (−20,14)² + 19,86² + 5,857² + 4,857² = 1215

Écart-type

s = √(1215/6) = 14,23

Réponse

s = 14,23

4.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,1587

Centrer-réduire

z = −1

Table de la loi normale

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Réponse

P = 0,1587

5.Probabilités

Réponse: N = 56

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaisons

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Réponse

N = 56

6.Probabilités

Réponse: P = 0,08958

Formule binomiale

P(X = 1) = 8·0,4¹·0,6⁷ = 8·0,4·0,02799 = 0,08958

Réponse

P = 0,08958

7.Loi normale

Réponse: P = 0,5665

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (43,1 − 32)/6 = 1,85

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(1,85) − Φ(−0,25) = 0,9678 − 0,4013 = 0,5665

Réponse

P = 0,5665

8.Loi normale

Réponse: x = 41,87 min

z du centile

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Retour à x

x = 32 + 1,645·6 = 41,87 min

Réponse

x = 41,87 min

9.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 72,09

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Marge d'erreur

E = 1,86·5,5/√9 = 3,41

Intervalle

75,5 ± 3,41 → [72,09, 78,91]

Réponse

borne inférieure = 72,09

10.Intervalles de confiance

Réponse: n = 45

Résoudre pour n

n = (1,96·17/5)² = 44,41

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 45

Réponse

n = 45

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 1,7

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Statistique de test

t = (208,5 − 200)/5 = 1,7

Réponse

t = 1,7

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 77,15

Marge d'erreur

E = 2,576·12/√36 = 5,152

Borne de l'intervalle

U = 72 + 5,152 = 77,15

Réponse

U = 77,15

13.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9955

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 938 − 30·131/5 = 152

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 4015 − 131²/5 = 582,8

Coefficient de corrélation

r = 152/√(40·582,8) = 0,9955

Réponse

r = 0,9955

14.Régression linéaire et corrélation

Réponse: ŷ = 16,15

Moyennes

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 104/5 = 20,8

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Droite de régression

b = −31/10 = −3,1

a = 20,8 − (−3,1)·3 = 30,1

ŷ = 30,1 − 3,1·x

Prédiction

ŷ = 30,1 + (−3,1)·4,5 = 16,15

Réponse

ŷ = 16,15

15.Tests du khi-deux

Réponse: χ² = 24,73

Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.

Effectifs attendus

nouveau médicament: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28

placebo: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28

Statistique du khi-deux

χ² = (67 − 52)²/52 + (13 − 28)²/28 + (37 − 52)²/52 + (43 − 28)²/28

χ² = 24,73

Réponse

χ² = 24,73

df = 1. Pour α = 0,05, la valeur critique vaut 3,841 ; H₀ (indépendance) est donc rejetée.

16.Tests du khi-deux

Réponse: χ² = 31,75

Effectifs attendus

usine A: 42, 18

usine B: 42, 18

usine C: 28, 12

Statistique du khi-deux

χ² = (47 − 42)²/42 + (13 − 18)²/18 + (51 − 42)²/42 + (9 − 18)²/18 + (14 − 28)²/28 + (26 − 12)²/12

χ² = 31,75

Décision

df = 2, χ²_crit = 5,991

31,75 > 5,991

Réponse

χ² = 31,75

χ² est supérieur à la valeur critique, donc H₀ est rejetée : les variables semblent liées.

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