Méthodologie de la recherche et statistiques en psychologie : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 16 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne
x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane
valeur du milieu des données triées
Score z
z = (x − μ)/σ
Loi normale
68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire
P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Loi normale

Score z
z = (x − μ)/σ
En dessous de x
P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs
Φ(z2) − Φ(z1)
Centile
x = μ + z·σ

Méthode

  1. Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
  2. Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
  3. Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
  4. Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu
x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon
n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

  1. Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
  2. Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
  3. Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
  4. Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%
rejeter H0 si |z| > 1,96
Intervalle de confiance
x̄ ± z·σ/√n

Méthode

  1. Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
  2. Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
  3. Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
  4. Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente
b = Sxy/Sxx
Ordonnée à l’origine
a = ȳ − b·x̄
Corrélation
r = Sxy/√(SxxSyy)
Résidu
e = y − ŷ

Tests du khi-deux

Statistique de test
χ² = Σ(O − E)²/E
Ajustement
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indépendance
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valeurs critiques (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Décision
rejeter H0 si χ² > χ²crit

2Exercices

1.Méthodes de recherche en psychologieMoyen

Quel plan utilise des participants différents dans chaque condition ?

  1. ALe plan apparié avec les mêmes personnes
  2. BLe plan à mesures répétées
  3. CLe plan à groupes indépendants
  4. DLe plan intra-sujets
2.Méthodes de recherche en psychologieDifficile

En recherche qualitative, la réflexivité signifie que le chercheur :

  1. AConvertit les thèmes en données numériques
  2. BRépète l'étude pour vérifier la fidélité
  3. CRéfléchit à la manière dont son propre parcours et ses présupposés peuvent orienter l'analyse
  4. DUtilise un échantillon aléatoire pour éliminer les biais
3.Statistique descriptiveMoyen
2530354045

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 48, 36, 42, 36, 45, 47, 24.

n = 7
s =
4.Statistique descriptiveDifficile
z −2−1012

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 10 ?

μ = 50σ = 20x = 10
P =
5.ProbabilitésMoyen
P(au moins un six) = ??1?2?3?4?5?6P(six) = 1/6 à chaque lancer

On lance un dé équilibré 6 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?

n = 6
P =
6.ProbabilitésDifficile
n = 10, p = 0,7: P(X ≤ 1) = ?k012345678910

On teste 10 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 10p = 0,7
P =
7.Loi normaleMoyen
25,133,5P = ?

On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 25,1 et 33,5 min ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 32σ = 6x1 = 25,1x2 = 33,5
P =
8.Loi normaleDifficile
557085100115130145pointsbas 60%

Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 60 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 100 pointsσ = 15 points60%
x = points
9.Intervalles de confianceMoyen
x̄E₁ = 10,199%, n = 25x̄E₂ = ?99%, n = 50

Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 25 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 10,1. Quelle est la marge d’erreur E₂ si la même étude utilise 50 observations à la place ?

99%n₁ = 25E₁ = 10,1n₂ = 50
E₂ =
10.Intervalles de confianceDifficile
n = 16Lσ = ?s = 6,795%

Les diamètres de 16 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 6,7 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 15, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 6,262 et 2,5 % au-dessus de 27,488.

n = 16s = 6,7 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
11.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen
t −2,01102,011

Un échantillon de 49 étudiants a une note moyenne de 104,5 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 104,5s = 15n = 49
t =
12.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile
z −1,64501,645

Un échantillon de 64 mesures a une moyenne de 200,7. L'écart-type de la population est 5. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

x̄ = 200,7σ = 5n = 6490%
U =
13.Régression linéaire et corrélationMoyen
xy34856276798311881394xy5106080

Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 6Σx = 48Σy = 442Σx² = 454Σy² = 34106Σxy = 3860
r =
14.Régression linéaire et corrélationDifficile
xy25496981410181222xy5101020ŷ = 16

Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 16 ?

n = 6ŷ = 16
x =
15.Tests du khi-deuxMoyen
touxpas de touxTotalfumeurs8139120non-fumeurs8733120Total16872240

Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Calculez la statistique du khi-deux χ² du test d’indépendance entre la variable en ligne et la variable en colonne. N’utilisez pas de correction de continuité.

N = 2402 × 2
χ² =
16.Tests du khi-deuxDifficile
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Un test d’ajustement du khi-deux vérifie si les effectifs de 9 catégories suivent une loi de Poisson dont la moyenne est estimée à partir des mêmes données. À l’aide de la table, trouvez la valeur critique χ²crit au seuil de signification α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Solutions

1.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: C · Le plan à groupes indépendants

Pourquoi c'est la réponse

Dans un plan à groupes indépendants, chaque condition comporte des participants différents, ce qui évite les effets d'ordre mais expose aux variables liées aux participants.

Réponse

C · Le plan à groupes indépendants
2.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: C · Réfléchit à la manière dont son propre parcours et ses présupposés peuvent orienter l'analyse

Pourquoi c'est la réponse

La réflexivité reconnaît l'influence du chercheur sur le recueil et l'interprétation des données ; c'est un critère de qualité essentiel du travail qualitatif.

Réponse

C · Réfléchit à la manière dont son propre parcours et ses présupposés peuvent orienter l'analyse
3.Statistique descriptive

Réponse: s = 8,46

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 278/7 = 39,71

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 8,286² + (−3,714)² + 2,286² + (−3,714)² + 5,286² + 7,286² + (−15,71)² = 429,4

Écart-type

s = √(429,4/6) = 8,46

Réponse

s = 8,46
4.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,9772

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Centrer-réduire

z = −2

Table de la loi normale

Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Réponse

P = 0,9772
5.Probabilités

Réponse: P = 0,6651

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complémentaire

P(aucun six) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Réponse

P = 0,6651
6.Probabilités

Réponse: P = 0,0001437

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,310 = 5,905 × 10⁻⁶
P(X = 1) = 10·0,7·0,39 = 0,0001378

Les additionner

P = 5,905 × 10⁻⁶ + 0,0001378 = 0,0001437

Réponse

P = 0,0001437
7.Loi normale

Réponse: P = 0,4736

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15
z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(0,25) − Φ(−1,15) = 0,5987 − 0,1251 = 0,4736

Réponse

P = 0,4736
8.Loi normale

Réponse: x = 103,8 points

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,6

z d’après la table

z ≈ 0,25

Retour aux unités d’origine

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 points

Réponse

x = 103,8 points
9.Intervalles de confiance

Réponse: E₂ = 7,142

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapport des marges

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(25/50) = 0,7071

Nouvelle marge

E₂ = 10,1·0,7071 = 7,142

Réponse

E₂ = 7,142
10.Intervalles de confiance

Réponse: σ = 10,37 µm

Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.

Somme des carrés

(n − 1)s² = 15·6,7² = 673,4

Bornes pour σ²

673,4/27,488 = 24,5
673,4/6,262 = 107,5

Borne pour σ

σ = √107,5 = 10,37 µm

Réponse

σ = 10,37 µm

Intervalle à 95 % pour σ : [4,949, 10,37] µm.

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,1

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Statistique de test

t = (104,5 − 100)/2,143 = 2,1

Réponse

t = 2,1
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| > 2,011, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 201,7

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Marge d'erreur

E = 1,645·5/√64 = 1,028

Borne de l'intervalle

U = 200,7 + 1,028 = 201,7

Réponse

U = 201,7
13.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9851

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

Sxy = 3860 − 48·442/6 = 324
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 34106 − 442²/6 = 1545

Coefficient de corrélation

r = 324/√(70·1545) = 0,9851

Réponse

r = 0,9851
14.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 8,895

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 77/6 = 12,83

Sommes des carrés et des produits

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 117

Droite de régression

b = 117/70 = 1,671
a = 12,83 − 1,671·7 = 1,133
ŷ = 1,133 + 1,671·x

Résoudre pour x

x = (16 − 1,133)/1,671 = 8,895

Réponse

x = 8,895
15.Tests du khi-deux

Réponse: χ² = 0,7143

Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.

Effectifs attendus

fumeurs: 120·168/240 = 84, 120·72/240 = 36
non-fumeurs: 120·168/240 = 84, 120·72/240 = 36

Statistique du khi-deux

χ² = (81 − 84)²/84 + (39 − 36)²/36 + (87 − 84)²/84 + (33 − 36)²/36
χ² = 0,7143

Réponse

χ² = 0,7143

df = 1. Pour α = 0,05, la valeur critique vaut 3,841 ; H₀ (indépendance) est donc non rejetée.

16.Tests du khi-deux

Réponse: χ²crit = 18,48

Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.

Degrés de liberté

df = 9 − 1 − 1 = 7

Table

χ²crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475

Réponse

χ²crit = 18,475

Rejetez H₀ si le χ² calculé est supérieur à cette valeur.

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