Méthodologie de la recherche et statistiques en psychologie : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 16 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

Tests du khi-deux

Statistique de test: χ² = Σ(O − E)²/E
Ajustement: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indépendance: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valeurs critiques (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Décision: rejeter H₀ si χ² > χ²_crit

2Exercices

1.Méthodes de recherche en psychologieMoyen

Le biais de publication désigne :

ALe fait que des chercheurs publient deux fois la même étude
BLe fait que les études aux résultats significatifs soient plus susceptibles d'être publiées que les résultats nuls
CLe fait que les revues ne publient que des recherches qualitatives
DLe fait que les évaluateurs favorisent les articles d'auteurs d'universités célèbres plutôt que d'universités moins connues

2.Méthodes de recherche en psychologieDifficile

Un chercheur veut montrer qu'une nouvelle échelle d'anxiété mesure autre chose que la dépression. De faibles corrélations avec une échelle de dépression appuieraient :

ALa validité discriminante
BLa validité apparente
CLa validité convergente
DLa validité prédictive

3.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 29, 28, 45, 55, 10, 19, 10.

n = 7

s =

4.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 10.

μ = 50σ = 20x = 10

z =

5.ProbabilitésMoyen

On lance un dé équilibré 5 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?

n = 5

P =

6.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = 3X − 3. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,05, 0,25Y = 3X − 3

σ_Y =

7.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,4515. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,4515

z =

8.Loi normaleDifficile

On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 10 % des valeurs (le 10e centile).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

9.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 21 éléments a une moyenne de 25 et un écart-type s = 18. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 21x̄ = 25s = 1899%t(20) = 2,845

borne inférieure =

10.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 28. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?

σ = 28E = 195%

n =

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 54,8 et un écart-type d'échantillon de 12. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54,8s = 12n = 36

t =

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 100 mesures a une moyenne de 49,8. L'écart-type de la population est 4. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

x̄ = 49,8σ = 4n = 10090%

U =

13.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.

n = 6

r =

14.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (3,5, 50). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 50)

e =

15.Tests du khi-deuxMoyen

Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Calculez la statistique du khi-deux χ² du test d’indépendance entre la variable en ligne et la variable en colonne. N’utilisez pas de correction de continuité.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Tests du khi-deuxDifficile

Le tableau indique les effectifs observés. Testez au seuil α = 0,01 si les deux variables sont indépendantes (sans correction de continuité). Calculez la statistique de test χ², puis comparez-la à la valeur critique de la table.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3Solutions

1.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: B · Le fait que les études aux résultats significatifs soient plus susceptibles d'être publiées que les résultats nuls

Pourquoi c'est la réponse

Lorsque les études non significatives restent dans les tiroirs, la littérature publiée surestime les tailles d'effet, ce qui fausse les méta-analyses.

Réponse

B · Le fait que les études aux résultats significatifs soient plus susceptibles d'être publiées que les résultats nuls

2.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: A · La validité discriminante

Pourquoi c'est la réponse

La validité discriminante (divergente) est démontrée lorsqu'une mesure est faiblement corrélée à des mesures de construits différents. La validité convergente correspond à une forte corrélation avec des mesures du même construit.

Réponse

A · La validité discriminante

3.Statistique descriptive

Réponse: s = 17,07

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 196/7 = 28

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 1² + 0² + 17² + 27² + (−18)² + (−9)² + (−18)² = 1748

Écart-type

s = √(1748/6) = 17,07

Réponse

s = 17,07

4.Statistique descriptive

Réponse: z = −2

Centrer-réduire

z = (10 − 50)/20 = −2

Réponse

z = −2

5.Probabilités

Réponse: P = 0,5981

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complémentaire

P(aucun six) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Réponse

P = 0,5981

6.Probabilités

Réponse: σ_Y = 4,477

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Dispersion de X

μ = 1,85, Var(X) = 2,228, σ_X = 1,492

Changement linéaire

σ_Y = |3|·1,492 = 4,477

Réponse

σ_Y = 4,477

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 3·1,85 − 3 = 2,55.

7.Loi normale

Réponse: z = 0,6

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = (1 + 0,4515)/2 = 0,7257

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,7257 dans la table et lisez z.

z = 0,60

Réponse

z = 0,60

8.Loi normale

Réponse: x = 243,6 g

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

z du centile

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Retour à x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Réponse

x = 243,59 g

9.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 13,83

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Marge d'erreur

E = 2,845·18/√21 = 11,17

Intervalle

25 ± 11,17 → [13,83, 36,17]

Réponse

borne inférieure = 13,83

10.Intervalles de confiance

Réponse: n = 3012

Résoudre pour n

n = (1,96·28/1)² = 3012

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 3012

Réponse

n = 3012

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,4

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statistique de test

t = (54,8 − 50)/2 = 2,4

Réponse

t = 2,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 50,46

Marge d'erreur

E = 1,645·4/√100 = 0,658

Borne de l'intervalle

U = 49,8 + 0,658 = 50,46

Réponse

U = 50,46

13.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = −0,9735

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 119/6 = 19,83

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 124,8

Coefficient de corrélation

r = −45,5/√(17,5·124,8) = −0,9735

Réponse

r = −0,9735

14.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = 4,95

Moyennes

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 237/5 = 47,4

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

Droite de régression

b = 47/10 = 4,7

a = 47,4 − 4,7·4 = 28,6

ŷ = 28,6 + 4,7·x

Valeur prédite

ŷ = 28,6 + 4,7·3,5 = 45,05

Résidu

e = 50 − 45,05 = 4,95

Réponse

e = 4,95

Le point se trouve au-dessus de la droite.

15.Tests du khi-deux

Réponse: χ² = 3,573

Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.

Effectifs attendus

équipe de jour: 100·80/160 = 50, 100·40/160 = 25, 100·40/160 = 25

équipe de nuit: 60·80/160 = 30, 60·40/160 = 15, 60·40/160 = 15

Statistique du khi-deux

χ² = (53 − 50)²/50 + (20 − 25)²/25 + (27 − 25)²/25 + (27 − 30)²/30 + (20 − 15)²/15 + (13 − 15)²/15

χ² = 3,573

Réponse

χ² = 3,573

df = 2. Pour α = 0,05, la valeur critique vaut 5,991 ; H₀ (indépendance) est donc non rejetée.

16.Tests du khi-deux

Réponse: χ² = 1,094

Effectifs attendus

usine A: 48, 32

usine B: 24, 16

usine C: 36, 24

Statistique du khi-deux

χ² = (49 − 48)²/48 + (31 − 32)²/32 + (26 − 24)²/24 + (14 − 16)²/16 + (33 − 36)²/36 + (27 − 24)²/24

χ² = 1,094

Décision

df = 2, χ²_crit = 9,210

1,094 < 9,210

Réponse

χ² = 1,094

χ² est inférieur à la valeur critique, donc H₀ n’est pas rejetée : il n’y a pas de preuve significative d’une relation.

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