Méthodologie de la recherche et statistiques en psychologie : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 16 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

Tests du khi-deux

Statistique de test: χ² = Σ(O − E)²/E
Ajustement: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indépendance: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valeurs critiques (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Décision: rejeter H₀ si χ² > χ²_crit

2Exercices

1.Méthodes de recherche en psychologieMoyen

Quel plan utilise des participants différents dans chaque condition ?

ALe plan à mesures répétées
BLe plan intra-sujets
CLe plan apparié avec les mêmes personnes
DLe plan à groupes indépendants

2.Méthodes de recherche en psychologieDifficile

Un chercheur recueille des données à neuf moments et effectue chaque fois un test au seuil de 5% sans correction. Quel est le problème ?

ACette démarche ne pose aucun problème
BLa probabilité d'au moins un faux positif dépasse largement 5%
CLes données deviennent plus fiables à chaque fois, si bien que le dernier test est le plus exact
DLa taille d'effet diminue à chaque test

3.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 43, 59, 12, 59, 44, 45.

n = 6

s =

4.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 160.

μ = 170σ = 5x = 160

z =

5.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

6.ProbabilitésDifficile

Un jeu coûte 10 € pour jouer. Vous gagnez 30 € avec la probabilité 0,25 et 500 € avec la probabilité 0,02 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.

mise = €10€30: p = 0,25€500: p = 0,02

E(G) = €

7.Loi normaleMoyen

On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 32 et 36,8 min ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 32x₂ = 36,8

P =

8.Loi normaleDifficile

On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 80 % des valeurs (le 80e centile).

μ = 65σ = 10P = 80%

x = points

9.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 27 et un écart-type s = 15. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 9x̄ = 27s = 1599%t(8) = 3,355

borne inférieure =

10.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 8 parcelles, rendement moyen 26,5 kg, écart-type 1,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 6 parcelles, moyenne 18,5 kg, écart-type 6,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 26,5s₁ = 1,5n₂ = 6x̄₂ = 18,5s₂ = 6,599%t(12) = 3,055

E = kg

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 49 étudiants a une note moyenne de 123,4 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 123,4s = 10n = 49

t =

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 16 mesures a une moyenne de 127,5. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

x̄ = 127,5σ = 10n = 1699%

L =

13.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.

n = 6

r =

14.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 23.

n = 6x = 23

ŷ =

15.Tests du khi-deuxMoyen

Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Calculez la statistique du khi-deux χ² du test d’indépendance entre la variable en ligne et la variable en colonne. N’utilisez pas de correction de continuité.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Tests du khi-deuxDifficile

Un test d’indépendance du khi-deux est effectué sur un tableau de contingence de 3 lignes et 3 colonnes (sans compter les totaux). Combien de degrés de liberté df le test a-t-il ?

3 × 3

df =

3Solutions

1.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: D · Le plan à groupes indépendants

Pourquoi c'est la réponse

Dans un plan à groupes indépendants, chaque condition comporte des participants différents, ce qui évite les effets d'ordre mais expose aux variables liées aux participants.

Réponse

D · Le plan à groupes indépendants

2.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: B · La probabilité d'au moins un faux positif dépasse largement 5%

Pourquoi c'est la réponse

Avec neuf tests indépendants, la probabilité d'au moins une erreur de type I est d'environ 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Des corrections comme celle de Bonferroni y remédient.

Réponse

B · La probabilité d'au moins un faux positif dépasse largement 5%

3.Statistique descriptive

Réponse: s = 17,18

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 262/6 = 43,67

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−0,6667)² + 15,33² + (−31,67)² + 15,33² + 0,3333² + 1,333² = 1475

Écart-type

s = √(1475/5) = 17,18

Réponse

s = 17,18

4.Statistique descriptive

Réponse: z = −2

Centrer-réduire

z = (160 − 170)/5 = −2

Réponse

z = −2

5.Probabilités

Réponse: Var(X) = 0,6475

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Moyenne des carrés

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Variance

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Réponse

Var(X) = 0,6475

6.Probabilités

Réponse: E(G) = 7,5 €

Résultats nets

G: 20 (p = 0,25), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,73)

Espérance

E(G) = 20·0,25 + 490·0,02 − 10·0,73 = 7,5 €

Réponse

E(G) = 7,5 €

Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.

7.Loi normale

Réponse: P = 0,2881

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (32 − 32)/6 = 0

z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(0,8) − Φ(0) = 0,7881 − 0,5 = 0,2881

Réponse

P = 0,2881

8.Loi normale

Réponse: x = 73,42 points

z du centile

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Retour à x

x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 points

Réponse

x = 73,42 points

9.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 10,22

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Marge d'erreur

E = 3,355·15/√9 = 16,78

Intervalle

27 ± 16,78 → [10,22, 43,78]

Réponse

borne inférieure = 10,22

10.Intervalles de confiance

Réponse: E = 7,176 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Écart-type commun

s_p² = (7·1,5² + 5·6,5²)/12 = 18,92

s_p = 4,349

Marge d'erreur

E = 3,055·4,349·√(1/8 + 1/6) = 7,176

Réponse

E = 7,176 kg

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,38

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Statistique de test

t = (123,4 − 120)/1,429 = 2,38

Réponse

t = 2,38

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: L = 121,1

Marge d'erreur

E = 2,576·10/√16 = 6,44

Borne de l'intervalle

L = 127,5 − 6,44 = 121,1

Réponse

L = 121,1

13.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9471

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 247/6 = 41,17

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 153

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 372,8

Coefficient de corrélation

r = 153/√(70·372,8) = 0,9471

Réponse

r = 0,9471

14.Régression linéaire et corrélation

Réponse: ŷ = 121,2

Moyennes

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 567/6 = 94,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 467

Droite de régression

b = 467/70 = 6,671

a = 94,5 − 6,671·19 = −32,26

ŷ = −32,26 + 6,671·x

Prédiction

ŷ = −32,26 + 6,671·23 = 121,2

Réponse

ŷ = 121,2

15.Tests du khi-deux

Réponse: χ² = 0,6019

Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.

Effectifs attendus

étudiants: 40·24/160 = 6, 40·64/160 = 16, 40·72/160 = 18

personnel: 120·24/160 = 18, 120·64/160 = 48, 120·72/160 = 54

Statistique du khi-deux

χ² = (7 − 6)²/6 + (17 − 16)²/16 + (16 − 18)²/18 + (17 − 18)²/18 + (47 − 48)²/48 + (56 − 54)²/54

χ² = 0,6019

Réponse

χ² = 0,6019

df = 2. Pour α = 0,05, la valeur critique vaut 5,991 ; H₀ (indépendance) est donc non rejetée.

16.Tests du khi-deux

Réponse: df = 4

Degrés de liberté

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Réponse

df = 4

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