Méthodologie de la recherche et statistiques en psychologie : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 16 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

Tests du khi-deux

Statistique de test: χ² = Σ(O − E)²/E
Ajustement: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indépendance: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valeurs critiques (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Décision: rejeter H₀ si χ² > χ²_crit

2Exercices

1.Méthodes de recherche en psychologieMoyen

Quelle statistique convient pour la relation entre deux séries de rangs, comme les classements de tableaux par des juges ?

ALe khi-deux
BLe r de Pearson
CLe test t pour échantillons indépendants
DLe rho de Spearman

2.Méthodes de recherche en psychologieDifficile

Un chercheur effectue 20 analyses sur un jeu de données et ne rapporte que celle où p < 0,05. Cette pratique s'appelle :

ALe préenregistrement
BLa triangulation
CLe p-hacking
DLe contrebalancement

3.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 52, 56, 58, 29, 53, 48, 32.

n = 7

s =

4.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 66.

μ = 70σ = 5x = 66

z =

5.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,2, 0,35, 0,25

Var(X) =

6.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = 0,5X + 20. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,3, 0,3, 0,25Y = 0,5X + 20

σ_Y =

7.Loi normaleMoyen

On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Quelle proportion se situe entre 50,5 et 73,5 points ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 50,5x₂ = 73,5

P =

8.Loi normaleDifficile

On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 99 % des valeurs (le 99e centile).

μ = 250σ = 5P = 99%

x = g

9.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 21 éléments a une moyenne de 24 et un écart-type s = 16. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

n = 21x̄ = 24s = 1690%t(20) = 1,725

borne inférieure =

10.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 7 parcelles, rendement moyen 95,5 kg, écart-type 8 kg. Groupe de parcelles 2 : 5 parcelles, moyenne 100 kg, écart-type 3,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 95,5s₁ = 8n₂ = 5x̄₂ = 100s₂ = 3,590%t(10) = 1,812

borne inférieure = kg

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 114,5 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 114,5s = 15n = 36

t =

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 64 mesures a une moyenne de 100,9. L'écart-type de la population est 15. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

x̄ = 100,9σ = 15n = 6495%

L =

13.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.

n = 5

r =

14.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

15.Tests du khi-deuxMoyen

Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Pour un test d’indépendance du khi-deux, trouvez l’effectif attendu E de la case « équipe de nuit, majeur ».

total de la ligne = 110total de la colonne = 71N = 231

E =

16.Tests du khi-deuxDifficile

Un test d’ajustement du khi-deux vérifie si les effectifs de 6 catégories suivent une loi de Poisson dont la moyenne est estimée à partir des mêmes données. Combien de degrés de liberté df le test a-t-il ?

k = 6

df =

3Solutions

1.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: D · Le rho de Spearman

Pourquoi c'est la réponse

La corrélation de rangs de Spearman mesure la force d'une relation monotone entre deux variables classées ou ordinales.

Réponse

D · Le rho de Spearman

2.Méthodes de recherche en psychologie

Réponse: C · Le p-hacking

Pourquoi c'est la réponse

Le p-hacking exploite la flexibilité de l'analyse pour obtenir la significativité, ce qui porte le taux de faux positifs bien au-delà de 5%. Le préenregistrement et la transparence des rapports le réduisent.

Réponse

C · Le p-hacking

3.Statistique descriptive

Réponse: s = 11,64

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 328/7 = 46,86

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 5,143² + 9,143² + 11,14² + (−17,86)² + 6,143² + 1,143² + (−14,86)² = 812,9

Écart-type

s = √(812,9/6) = 11,64

Réponse

s = 11,64

4.Statistique descriptive

Réponse: z = −0,8

Centrer-réduire

z = (66 − 70)/5 = −0,8

Réponse

z = −0,8

5.Probabilités

Réponse: Var(X) = 1,127

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 0·0,2 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,25 = 1,65

Moyenne des carrés

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,25 = 3,85

Variance

Var(X) = 3,85 − 1,65² = 1,127

Réponse

Var(X) = 1,127

6.Probabilités

Réponse: σ_Y = 1,014

Dispersion de X

μ = 3,3, Var(X) = 4,11, σ_X = 2,027

Changement linéaire

σ_Y = |0,5|·2,027 = 1,014

Réponse

σ_Y = 1,014

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 0,5·3,3 + 20 = 21,65.

7.Loi normale

Réponse: P = 0,7288

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45

z₂ = (73,5 − 65)/10 = 0,85

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(0,85) − Φ(−1,45) = 0,8023 − 0,07353 = 0,7288

Réponse

P = 0,7288

8.Loi normale

Réponse: x = 261,6 g

z du centile

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Retour à x

x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g

Réponse

x = 261,63 g

9.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 17,98

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Marge d'erreur

E = 1,725·16/√21 = 6,023

Intervalle

24 ± 6,023 → [17,98, 30,02]

Réponse

borne inférieure = 17,98

10.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = −11,48 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Écart-type commun

s_p² = (6·8² + 4·3,5²)/10 = 43,3

s_p = 6,58

Marge d'erreur

E = 1,812·6,58·√(1/7 + 1/5) = 6,982

Intervalle

−4,5 ± 6,982 → [−11,48, 2,482]

Réponse

borne inférieure = −11,48 kg

11.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −2,2

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Statistique de test

t = (114,5 − 120)/2,5 = −2,2

Réponse

t = −2,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

12.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: L = 97,23

Marge d'erreur

E = 1,96·15/√64 = 3,675

Borne de l'intervalle

L = 100,9 − 3,675 = 97,23

Réponse

L = 97,23

13.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9607

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 268/5 = 53,6

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 403,2

Coefficient de corrélation

r = 61/√(10·403,2) = 0,9607

Réponse

r = 0,9607

14.Régression linéaire et corrélation

Réponse: ŷ = 26,55

Moyennes

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 126/5 = 25,2

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −9

Droite de régression

b = −9/10 = −0,9

a = 25,2 − (−0,9)·3 = 27,9

ŷ = 27,9 − 0,9·x

Prédiction

ŷ = 27,9 + (−0,9)·1,5 = 26,55

Réponse

ŷ = 26,55

15.Tests du khi-deux

Réponse: E = 33,81

Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.

Effectif attendu

E = 110·71/231 = 33,81

Réponse

E = 33,81

16.Tests du khi-deux

Réponse: df = 4

Degrés de liberté

df = 6 − 1 − 1 = 4

Réponse

df = 4

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