Signaux et systèmes : pack de révision

Convolution continue : y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. On retourne h, on la fait glisser jusqu’à la position t et on intègre le produit des parties qui se recouvrent. Pour des signaux causaux, l’intégrale va de 0 à t. Résultats utiles : l’aire de y est l’aire de x multipliée par l’aire de h ; si x dure de t₁ à t₂ et h de t₃ à t₄, y dure de t₁ + t₃ à t₂ + t₄. Pour h(t) = e^−atu(t) et un échelon de hauteur A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at).

Réponse impulsionnelle et série de Fourier : la réponse impulsionnelle h(t) décrit entièrement un système LTI : pour y′ + a·y = b·x, c’est h(t) = b·e^−atu(t), et pour y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n], c’est h[n] = b·aⁿu[n]. Une sinusoïde cos ωt traverse le système avec le gain |H(jω)| et la phase ∠H(jω), où H est la transformée de Fourier de h. Un signal périodique est une somme d’harmoniques en k/T : un signal carré de ±A n’a que des harmoniques impairs d’amplitudes 4A/(kπ), un signal triangulaire de crête A a 8A/(π²k²), et un train d’impulsions de hauteur A et de rapport cyclique D a pour moyenne A·D et pour harmoniques (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Transformée de Laplace : F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt transforme les dérivées en multiplications par s : ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Couples usuels : 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), et un décalage s → s + σ multiplie la fonction du temps par e^−σt. Pour inverser une F(s) rationnelle, décomposez-la en éléments simples : le résidu d’un pôle simple p est A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Théorème de la valeur finale : f(∞) = lim_s→0 s·F(s), valable seulement si tous les pôles de s·F(s) sont dans le demi-plan gauche. Théorème de la valeur initiale : f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Transformée de Laplace : F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt transforme les dérivées en multiplications par s : ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Couples usuels : 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), et un décalage s → s + σ multiplie la fonction du temps par e^−σt. Pour inverser une F(s) rationnelle, décomposez-la en éléments simples : le résidu d’un pôle simple p est A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Théorème de la valeur finale : f(∞) = lim_s→0 s·F(s), valable seulement si tous les pôles de s·F(s) sont dans le demi-plan gauche. Théorème de la valeur initiale : f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Réponse indicielle : un système du premier ordre G(s) = K/(τs + 1) répond à un échelon d’amplitude U par y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) : il atteint 63,2 % de la valeur finale K·U après une constante de temps τ et 98 % après 4τ. Un système du second ordre G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) a pour pôles s = −ζωₙ ± jω_d avec ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Pour 0 < ζ < 1, la réponse indicielle dépasse sa valeur finale : dépassement en pourcentage %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, temps du premier pic t_p = π/ω_d, et temps de réponse à 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Comparez le dénominateur avec s² + 2ζωₙs + ωₙ² pour lire ωₙ et ζ. Pour un système masse–ressort–amortisseur, ωₙ = √(k/m) et ζ = c/(2√(km)) ; pour un circuit RLC série, ωₙ = 1/√(LC) et ζ = (R/2)·√(C/L).

Réponse indicielle : un système du premier ordre G(s) = K/(τs + 1) répond à un échelon d’amplitude U par y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) : il atteint 63,2 % de la valeur finale K·U après une constante de temps τ et 98 % après 4τ. Un système du second ordre G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) a pour pôles s = −ζωₙ ± jω_d avec ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Pour 0 < ζ < 1, la réponse indicielle dépasse sa valeur finale : dépassement en pourcentage %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, temps du premier pic t_p = π/ω_d, et temps de réponse à 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Comparez le dénominateur avec s² + 2ζωₙs + ωₙ² pour lire ωₙ et ζ. Pour un système masse–ressort–amortisseur, ωₙ = √(k/m) et ζ = c/(2√(km)) ; pour un circuit RLC série, ωₙ = 1/√(LC) et ζ = (R/2)·√(C/L).

Réponse en fréquence : substituez s = jω dans la fonction de transfert. Le module en décibels est 20·log₁₀|H(jω)| et la phase est la somme des angles des facteurs du numérateur moins ceux des facteurs du dénominateur. Un filtre RC ou RL du premier ordre a sa fréquence de coupure (−3 dB) à ω_c = 1/(RC) ou R/L, et f_c = ω_c/(2π) ; un filtre passe-bas donne |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) et φ = −atan(ω/ω_c). Dans le diagramme de Bode asymptotique (en lignes droites), chaque pôle infléchit le module vers le bas de 20 dB/décade à sa fréquence de coupure, chaque zéro l’infléchit vers le haut de 20 dB/décade, et un intégrateur 1/s donne −20 dB/décade à toutes les fréquences. Pulsation de croisement du gain ω_c : |L(jω)| = 1 (0 dB) ; marge de phase PM = 180° + ∠L(jω_c). Pulsation de croisement de phase ω₁₈₀ : ∠L(jω) = −180° ; marge de gain GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. La boucle fermée est stable quand les deux marges sont positives.

Réponse en fréquence : substituez s = jω dans la fonction de transfert. Le module en décibels est 20·log₁₀|H(jω)| et la phase est la somme des angles des facteurs du numérateur moins ceux des facteurs du dénominateur. Un filtre RC ou RL du premier ordre a sa fréquence de coupure (−3 dB) à ω_c = 1/(RC) ou R/L, et f_c = ω_c/(2π) ; un filtre passe-bas donne |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) et φ = −atan(ω/ω_c). Dans le diagramme de Bode asymptotique (en lignes droites), chaque pôle infléchit le module vers le bas de 20 dB/décade à sa fréquence de coupure, chaque zéro l’infléchit vers le haut de 20 dB/décade, et un intégrateur 1/s donne −20 dB/décade à toutes les fréquences. Pulsation de croisement du gain ω_c : |L(jω)| = 1 (0 dB) ; marge de phase PM = 180° + ∠L(jω_c). Pulsation de croisement de phase ω₁₈₀ : ∠L(jω) = −180° ; marge de gain GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. La boucle fermée est stable quand les deux marges sont positives.