Statique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Norme: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vecteur unitaire: û = a/|a|
Composantes à partir d’un angle: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produit scalaire: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projection scalaire de a sur b: a·b/|b|
Travail: W = F·d
Produit vectoriel: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aires: parallélogramme |a × b|, triangle ½|a × b|
Moment par rapport à O: M_O = r × F, r = A − O
Volume d’un parallélépipède: V = |a·(b × c)|

Méthode

Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Cadres et machines

Équilibre de chaque élément: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Élément à deux forces: force dirigée selon la droite passant par ses deux articulations
Force d’articulation: égales et opposées sur les deux éléments qu’elle relie
Intensité d’une force d’articulation: F = √(F_x² + F_y²)
Levier, pince, levier coudé: F_in·a = F_out·b
Genouillère: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge

Méthode

Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercices

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielMoyen

Trouvez la projection scalaire comp_b a de a = (0, 2, −1) sur b = (5, −2, 1), c’est-à-dire la composante de a dans la direction de b.

a = (0, 2, −1)b = (5, −2, 1)

comp_b a =

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielDifficile

Le vecteur unitaire n̂ est perpendiculaire à a = (−5, 0, 2) et à b = (5, 4, −2) et a une composante z positive. Trouvez sa composante x n̂_x.

a = (−5, 0, 2)b = (5, 4, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale R_A.

L = 4 mP₁ = 30 kN à 1 mP₂ = 60 kN à 1,5 m

R_A = kN

4.Réactions d’appui des poutresDifficile

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale R_A.

L = 8 mP = 35 kN à 3 mw = 10 kN/m de 3 à 8 m

R_A = kN

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 8 mhauteur = 3 mB est à 6 m de Acharge verticale = 25 kN

F_AC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_BC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 3 mB est à 3 m de Acharge verticale = 35 kNcharge horizontale = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Cadres et machinesMoyen

Le cadre en A représenté repose sur une articulation en A et un appui à rouleau en B, distants de 3 m. Les jambes se rejoignent à l’articulation C, à 4 m de hauteur, et le tirant horizontal DE est à 1,5 m au-dessus du sol. Une charge de 8 kN agit en C. Trouvez l’intensité de la force C que l’articulation C exerce sur la jambe BC.

P = 8 kNAB = 3 mhauteur de C = 4 mhauteur de DE = 1,5 m

C = kN

8.Cadres et machinesDifficile

La poutre AB de la console murale représentée est articulée en A et soutenue par la contrefiche CD (C est 1 m sous A). La poutre porte une charge uniformément répartie de 3 kN/m sur toute sa longueur et une charge ponctuelle de 2 kN à son extrémité libre B. Trouvez la force F_CD dans la contrefiche.

w = 3 kN/mP = 2 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 1 m

F_CD = kN

9.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

40 kN @ 1 m55 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 2 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez le moment fléchissant positif maximal M_max entre les appuis.

L = 8 mw = 6 kN/m de 0 à 8 mappuis en x = 0 et x = 6 m

M_max = kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 15 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_haut = MPa

3Solutions

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: comp_b a = −0,9129

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produit scalaire

a·b = 0·5 + 2·(−2) + (−1)·1 = −5

Longueur de b

|b| = √(5² + (−2)² + 1²) = 5,477

Projection scalaire

comp_b a = a·b/|b| = −5/5,477 = −0,9129

Réponse

comp_b a = −0,9129

Négatif : a a une composante dirigée à l’opposé de b.

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: n̂_x = 0,3714

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produit vectoriel

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−2) − 2·4 = −8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·5 − (−5)·(−2) = 0

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·4 − 0·5 = −20

Normaliser

La composante z de a × b est négative, utilisez donc −(a × b).

|a × b| = √((−8)² + 0² + (−20)²) = 21,54

n̂ = −(−8, 0, −20)/21,54 = (0,3714, 0, 0,9285)

n̂_x = 0,3714

Réponse

n̂_x = 0,3714

3.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 60 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 60·1,5

R_B = 120/4 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 30 = 60 kN

Réponse

R_A = 60 kN

4.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 37,5 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, appliquée en x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 10·5·5,5

R_B = 380/8 = 47,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 47,5 = 37,5 kN

Réponse

R_A = 37,5 kN

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 12,5 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·6 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,8321 = −22,53 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,53)·0,5547 = 12,5 kN

Réponse

F_AC = 12,5 kN (traction)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_BC = −7,906 kN

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·3 − 25·3 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 7,5 = 27,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,9487 = −7,906 kN

Réponse

F_BC = −7,906 kN (compression)

7.Cadres et machines

Réponse: C = 4,665 kN

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Force du tirant à partir de la jambe BC

B_y = 4 kN

T = 4·1,5/2,5 = 2,4 kN

Composantes de la force d’articulation sur BC

C_x = T = 2,4 kN, C_y = −B_y = −4 kN

Norme

C = √(2,4² + 4²) = 4,665 kN

Réponse

C = 4,665 kN

8.Cadres et machines

Réponse: F_CD = 16,67 kN

Résultante de la charge répartie

w·L = 3·2 = 6 kN à 1 m

Moments autour de A pour la poutre

F_CD·0,8·0,75 = 6·1 + 2·2 = 10 kN·m

F_CD = 16,67 kN

Réponse

F_CD = 16,67 kN

9.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 60,83 kN, R₂ = 34,17 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 60,83, M_C = 81,67, M_D = 102,5 kN·m, M_E = 68,33, M_F = 34,17, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 102,5 kN·m

10.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 21,33 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·8·4

R_B = 192/6 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 32 = 16 kN

Effort tranchant nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 16/6 = 2,667 m

Moment positif maximal

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 16²/(2·6) = 21,33 kN·m

Réponse

M_max = 21,33 kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 3,96 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

âme: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·110 + 1200·50)/3600 = 90 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·20³/12 + 2400·(110 − 90)² = 1,04 × 10⁶ mm⁴

âme: 12·100³/12 + 1200·(50 − 90)² = 2,92 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,04 × 10⁶ + 2,92 × 10⁶ = 3,96 × 10⁶ mm⁴ = 3,96 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 3,96 × 10⁶ mm⁴

12.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 82,74 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

âme: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·105 + 1400·50)/4400 = 87,5 mm

Théorème de Huygens

semelle: 300·10³/12 + 3000·(105 − 87,5)² = 943750 mm⁴

âme: 14·100³/12 + 1400·(50 − 87,5)² = 3,135 × 10⁶ mm⁴

I_x = 943750 + 3,135 × 10⁶ = 4,079 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 110 − 87,5 = 22,5 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·22,5/4,079 × 10⁶ = 82,74 MPa

Réponse

σ_haut = 82,74 MPa

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