Statique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Norme: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vecteur unitaire: û = a/|a|
Composantes à partir d’un angle: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produit scalaire: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projection scalaire de a sur b: a·b/|b|
Travail: W = F·d
Produit vectoriel: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aires: parallélogramme |a × b|, triangle ½|a × b|
Moment par rapport à O: M_O = r × F, r = A − O
Volume d’un parallélépipède: V = |a·(b × c)|

Méthode

Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Cadres et machines

Équilibre de chaque élément: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Élément à deux forces: force dirigée selon la droite passant par ses deux articulations
Force d’articulation: égales et opposées sur les deux éléments qu’elle relie
Intensité d’une force d’articulation: F = √(F_x² + F_y²)
Levier, pince, levier coudé: F_in·a = F_out·b
Genouillère: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge

Méthode

Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercices

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielMoyen

Trouvez l’angle θ entre les vecteurs a = (0, 4, 5) et b = (−2, −5, −2), en degrés.

a = (0, 4, 5)b = (−2, −5, −2)

θ = °

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielDifficile

Trouvez l’aire A du triangle de sommets A(−2, 2, 4), B(4, 2, 0) et C(0, 4, −1). Les coordonnées sont en mètres.

A(−2, 2, 4)B(4, 2, 0)C(0, 4, −1)

A = m²

3.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale R_A.

L = 6 mP₁ = 60 kN à 1 mP₂ = 50 kN à 2,5 m

R_A = kN

4.Réactions d’appui des poutresDifficile

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Une charge P agit à 0,5 m de A, inclinée de 30° par rapport à l’horizontale, et une charge verticale Q agit à 4,5 m de A. Trouvez l’angle α entre la réaction totale à l’articulation A et l’horizontale.

L = 6 mP = 30 kN à 0,5 m, θ = 30°Q = 50 kN à 4,5 m

α = °

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_BC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 4 mB est à 3 m de Acharge verticale = 20 kN

F_BC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 5 mhauteur = 2 mB est à 4 m de Acharge verticale = 50 kNcharge horizontale = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Cadres et machinesMoyen

Le cadre en A représenté repose sur une articulation en A et un appui à rouleau en B, distants de 4,8 m. Les jambes se rejoignent à l’articulation C, à 2,4 m de hauteur, et le tirant horizontal DE est à 1,2 m au-dessus du sol. Une charge de 20 kN agit en C. Trouvez l’intensité de la force C que l’articulation C exerce sur la jambe BC.

P = 20 kNAB = 4,8 mhauteur de C = 2,4 mhauteur de DE = 1,2 m

C = kN

8.Cadres et machinesDifficile

Une flèche horizontale uniforme AB de poids 1,5 kN est articulée à un mur en A et retenue par un câble allant de son extrémité B au point C du mur, 2,5 m au-dessus de A. Une charge de 10 kN est suspendue en B. Trouvez la tension T dans le câble.

W = 10 kNW_b = 1,5 kNAB = 3 mAC = 2,5 m

T = kN

9.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mw = 2 kN/m de 0 à 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

10.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 1,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mP = 40 kN à 1,5 mw = 12 kN/m de 0 à 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 20 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_bas = MPa

3Solutions

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: θ = 144,6 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produit scalaire

a·b = 0·(−2) + 4·(−5) + 5·(−2) = −30

Normes

|a| = √(0² + 4² + 5²) = 6,403

|b| = √((−2)² + (−5)² + (−2)²) = 5,745

Angle

cos θ = −30/(6,403·5,745) = −0,8156

θ = arccos(−0,8156) = 144,6°

Réponse

θ = 144,6°

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: A = 13,15 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vecteurs d’arête

AB = B − A = (6, 0, −4)

AC = C − A = (2, 2, −5)

Produit vectoriel

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 0·(−5) − (−4)·2 = 8

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−4)·2 − 6·(−5) = 22

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 6·2 − 0·2 = 12

|AB × AC| = √(8² + 22² + 12²) = 26,31

Aire du triangle

A = ½·26,31 = 13,15 m²

Réponse

A = 13,15 m²

3.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 79,17 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 50·2,5

R_B = 185/6 = 30,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 30,83 = 79,17 kN

Réponse

R_A = 79,17 kN

4.Réactions d’appui des poutres

Réponse: α = 45,3 °

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.

Composantes de P

P_v = 30·sin 30° = 15 kN

P_h = 30·cos 30° = 25,98 kN

Réactions

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·0,5 + 50·4,5 → R_B = 38,75 kN

A_y = 15 + 50 − 38,75 = 26,25 kN

A_x = P_h = 25,98 kN

Direction en A

α = atan(A_y/A_x) = atan(26,25/25,98) = 45,3°

Réponse

α = 45,3°

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_BC = −15,46 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 15 = 5 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,9701 = −15,46 kN

Réponse

F_BC = −15,46 kN (compression)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AB = −31,3 kN

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·4 − 10·2 → C_y = 36 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 36 = 14 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Nœud A

Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −14/0,4472 = −31,3 kN

Réponse

F_AB = −31,3 kN (compression)

7.Cadres et machines

Réponse: C = 22,36 kN

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Force du tirant à partir de la jambe BC

B_y = 10 kN

T = 10·2,4/1,2 = 20 kN

Composantes de la force d’articulation sur BC

C_x = T = 20 kN, C_y = −B_y = −10 kN

Norme

C = √(20² + 10²) = 22,36 kN

Réponse

C = 22,36 kN

8.Cadres et machines

Réponse: T = 16,79 kN

Angle du câble

BC = √(3² + 2,5²) = 3,905 m, sin β = 0,6402

Moments par rapport à A

T·0,6402·3 = 10·3 + 1,5·1,5

T = 16,79 kN

Réponse

T = 16,79 kN

9.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 5,25 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Couper en x = 3,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 5·3,5 − 2·3,5·1,75 = 5,25 kN·m

Réponse

M_x = 5,25 kN·m

10.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 60 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1,5 + 12·4·2

R_B = 156/4 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 88 − 39 = 49 kN

Couper en x = 1,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 49·1,5 − 12·1,5·0,75 = 60 kN·m

Réponse

M_x = 60 kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 32,87 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

âme: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·212,5 + 3600·100)/6600 = 151,1 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·25³/12 + 3000·(212,5 − 151,1)² = 1,145 × 10⁷ mm⁴

âme: 18·200³/12 + 3600·(100 − 151,1)² = 2,141 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,145 × 10⁷ + 2,141 × 10⁷ = 3,287 × 10⁷ mm⁴ = 32,87 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 32,87 × 10⁶ mm⁴

12.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 240,4 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

âme: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·190 + 1440·90)/3440 = 148,1 mm

Théorème de Huygens

semelle: 100·20³/12 + 2000·(190 − 148,1)² = 3,571 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·180³/12 + 1440·(90 − 148,1)² = 8,755 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,571 × 10⁶ + 8,755 × 10⁶ = 1,233 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 148,1 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·148,1/1,233 × 10⁷ = 240,4 MPa

Réponse

σ_bas = 240,4 MPa

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