Statique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Norme: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vecteur unitaire: û = a/|a|
Composantes à partir d’un angle: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produit scalaire: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projection scalaire de a sur b: a·b/|b|
Travail: W = F·d
Produit vectoriel: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aires: parallélogramme |a × b|, triangle ½|a × b|
Moment par rapport à O: M_O = r × F, r = A − O
Volume d’un parallélépipède: V = |a·(b × c)|

Méthode

Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Cadres et machines

Équilibre de chaque élément: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Élément à deux forces: force dirigée selon la droite passant par ses deux articulations
Force d’articulation: égales et opposées sur les deux éléments qu’elle relie
Intensité d’une force d’articulation: F = √(F_x² + F_y²)
Levier, pince, levier coudé: F_in·a = F_out·b
Genouillère: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge

Méthode

Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercices

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielMoyen

Trouvez la projection scalaire comp_b a de a = (−7, −7, 6) sur b = (2, 1, −6), c’est-à-dire la composante de a dans la direction de b.

a = (−7, −7, 6)b = (2, 1, −6)

comp_b a =

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielDifficile

Le vecteur unitaire n̂ est perpendiculaire à a = (3, 2, 2) et à b = (−4, 1, −5) et a une composante z positive. Trouvez sa composante y n̂_y.

a = (3, 2, 2)b = (−4, 1, −5)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Elle porte une charge ponctuelle P à 1 m de A et un couple trigonométrique M à 5 m de A. Trouvez la réaction verticale R_B, en comptant positif vers le haut.

L = 8 mP = 40 kN à 1 mM = 60 kN·m (trigonométrique) à 5 m

R_B = kN

4.Réactions d’appui des poutresDifficile

La poutre a une articulation en A et un appui simple en B, à 5 m de A, et se prolonge en porte-à-faux au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P à 2 m de A et une charge uniformément répartie w de 5 m jusqu’à l’extrémité libre à 8 m. Trouvez la réaction verticale R_A, en comptant positif vers le haut.

AB = 5 mAC = 8 mP = 25 kN à 2 mw = 2 kN/m de 5 à 8 m

R_A = kN

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_BC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 5 mhauteur = 3 mB est à 4 m de Acharge verticale = 25 kN

F_BC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.

C: 15 kN ↓D: 15 kN ↓F: 30 kN ↓G: 25 kN ↓H: 25 kN ↓H: 20 kN ←

1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre FC
13barre HC

7.Cadres et machinesMoyen

Le cadre représenté a des articulations en A, B et C ; A et C sont fixés au sol, distants de 6 m, et B est à 4 m au-dessus du sol et à 2,7 m à droite de A. Une charge verticale de 5 kN agit sur l’élément AB en K, à 1,08 m (horizontalement) de A. Trouvez la force F_BC dans l’élément BC.

P = 5 kNL = 6 mH = 4 mdistance horizontale de A à B = 2,7 mdistance horizontale de A à K = 1,08 m

F_BC = kN

8.Cadres et machinesDifficile

Une presse à genouillère a deux biellettes égales AB et BC, longues de 120 mm entre articulations. L’articulation B se trouve à 30 mm au-dessus de la droite AC. Quelle force F dirigée vers le bas en B produit une force de pression horizontale de 1000 N au coulisseau C ? Négligez le frottement et les poids.

Q = 1000 NAB = BC = 120 mmh = 30 mm

F = N

9.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 2 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P₁ entre les appuis et une charge ponctuelle P₂ en C. Trouvez l’effort tranchant V_x juste à gauche de l’appui B. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 7 mP₁ = 75 kN à 3 mP₂ = 20 kN à 7 mappuis en x = 0 et x = 5 m

V_x = kN

10.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 1 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mP = 35 kN à 2,5 mw = 5 kN/m de 0 à 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en I symétrique a des semelles de 250 mm de large et 12 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 400 mm et une âme de 14 mm d’épaisseur. Trouvez son module de flexion élastique S_x pour la flexion autour de l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 250 mmH = 400 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 220 mm de large et 16 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 320 mm et une âme de 14 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 60 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σ_j à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 220 mmH = 320 mmt_f = 16 mmt_w = 14 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

3Solutions

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: comp_b a = −8,902

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produit scalaire

a·b = (−7)·2 + (−7)·1 + 6·(−6) = −57

Longueur de b

|b| = √(2² + 1² + (−6)²) = 6,403

Projection scalaire

comp_b a = a·b/|b| = −57/6,403 = −8,902

Réponse

comp_b a = −8,902

Négatif : a a une composante dirigée à l’opposé de b.

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: n̂_y = 0,395

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produit vectoriel

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−5) − 2·1 = −12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·(−4) − 3·(−5) = 7

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·1 − 2·(−4) = 11

Normaliser

La composante z de a × b est déjà positive.

|a × b| = √((−12)² + 7² + 11²) = 17,72

n̂ = (−12, 7, 11)/17,72 = (−0,6772, 0,395, 0,6208)

n̂_y = 0,395

Réponse

n̂_y = 0,395

3.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_B = −2,5 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.

Moments par rapport à A

Sens trigonométrique positif.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 40·1 + 60 = 0

R_B = −20/8 = −2,5 kN

Équilibre vertical

R_A = 40 − (−2,5) = 42,5 kN

Réponse

R_B = −2,5 kN

Une réaction négative est dirigée vers le bas.

4.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 13,2 kN

Résultante de la charge répartie

W = 2·3 = 6 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6,5 m

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2 + 6·6,5

R_B = 89/5 = 17,8 kN

R_A = 31 − 17,8 = 13,2 kN

Réponse

R_A = 13,2 kN

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_BC = −21,08 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 20 = 5 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0,9487 = −21,08 kN

Réponse

F_BC = −21,08 kN (compression)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: barre BF

Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.

Nœud B

AB et BC sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Vérification avec la méthode des nœuds

La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).

AB: 37,5 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 52,5 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 81,32 kN (C), HE: 74,25 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 38,89 kN (T), HC: 17,68 kN (T)

Réponse

Barre à effort nul: BF

7.Cadres et machines

Réponse: F_BC = 1,167 kN

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Élément à deux forces BC

BC = √(3,3² + 4²) = 5,186 m

Cadre entier : moments autour de A

Le sol pousse BC en C selon CB ; sa composante horizontale passe par A, seule la composante verticale a un moment.

F_BC·(4/5,186)·6 = 5·1,08

F_BC = 1,167 kN (compression)

Réponse

F_BC = 1,167 kN

8.Cadres et machines

Réponse: F = 516,4 N

Machines : les pinces, leviers, mécanismes articulés et serre-joints transforment une force d’entrée en une force de sortie plus grande ou dirigée autrement. Dessinez une seule pièce comme un corps libre et prenez les moments autour de son pivot : la force d’articulation disparaît, et F_in·a = F_out·b donne l’avantage mécanique a/b. La force d’articulation découle ensuite de ΣF = 0 sur la même pièce. Dans une genouillère, deux biellettes se rejoignent sous un faible angle θ ; chaque biellette est un élément à deux forces, donc une petite force F à l’articulation crée de grandes forces dans les biellettes F/(2 sin θ) et une force de serrage F/(2 tan θ).

Angle des biellettes

sin θ = 30/120 = 0,25, θ = 14,48°

Force dans une biellette

F_link = Q/cos θ = 1033 N

Force en B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1000·tan θ = 516,4 N

Réponse

F = 516,4 N

9.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: V_x = −53 kN

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre. La charge du porte-à-faux crée aussi un moment par rapport à A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 75·3 + 20·7

R_B = 365/5 = 73 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 73 = 22 kN

Coupure juste à gauche de B en gardant la partie gauche

V_x = R_A − P₁ = 22 − 75 = −53 kN

Réponse

V_x = −53 kN

10.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 27,5 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2,5 + 5·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Couper en x = 1 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 30·1 − 5·1·0,5 = 27,5 kN·m

Réponse

M_x = 27,5 kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: S_x = 1440 × 10³ mm³

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 400 − 2·12 = 376 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·400³ − 236·376³)/12

I_x = 2,879 × 10⁸ mm⁴

Module de flexion

c = H/2 = 200 mm

S_x = I/c = 2,879 × 10⁸/200

S_x = 1,44 × 10⁶ mm³ = 1440 × 10³ mm³

Réponse

S_x = 1440 × 10³ mm³

12.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_j = 45,31 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 320 − 2·16 = 288 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·320³ − 206·288³)/12

I_x = 1,907 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 160 − 16 = 144 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·144/1,907 × 10⁸ = 45,31 MPa

Réponse

σ_j = 45,31 MPa

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