Statique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Norme: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vecteur unitaire: û = a/|a|
Composantes à partir d’un angle: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produit scalaire: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projection scalaire de a sur b: a·b/|b|
Travail: W = F·d
Produit vectoriel: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aires: parallélogramme |a × b|, triangle ½|a × b|
Moment par rapport à O: M_O = r × F, r = A − O
Volume d’un parallélépipède: V = |a·(b × c)|

Méthode

Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Cadres et machines

Équilibre de chaque élément: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Élément à deux forces: force dirigée selon la droite passant par ses deux articulations
Force d’articulation: égales et opposées sur les deux éléments qu’elle relie
Intensité d’une force d’articulation: F = √(F_x² + F_y²)
Levier, pince, levier coudé: F_in·a = F_out·b
Genouillère: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge

Méthode

Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercices

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielMoyen

Trouvez la valeur de k pour laquelle les vecteurs a = (5, 4, 4) et b = (−3, −2, k) sont perpendiculaires.

a = (5, 4, 4)b = (−3, −2, k)

k =

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielDifficile

Une force F = (10, 10, −10) N agit au point A(4, 0, 1). Les coordonnées sont en mètres. Trouvez la composante z M_z du moment de la force par rapport à l’origine O(0, 0, 0).

F = (10, 10, −10) NA(4, 0, 1) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis (articulation en A, appui simple en B) porte une charge linéairement variable qui croît de zéro en A jusqu’à 6 kN/m en B. Une charge ponctuelle P agit aussi à 4,5 m de A. Trouvez la réaction d’appui verticale R_A.

L = 5 mw₀ = 6 kN/mP = 55 kN à 4,5 m

R_A = kN

4.Réactions d’appui des poutresDifficile

La console est encastrée dans le mur en A. Elle porte une charge linéairement variable qui est nulle au mur et croît jusqu’à 12 kN/m à l’extrémité libre B, plus une charge ponctuelle P à 1,5 m du mur. Trouvez la valeur absolue du moment d’encastrement M_A au mur.

L = 5 mw₀ = 12 kN/mP = 35 kN à 1,5 m

M_A = kN·m

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 2 mB est à 3 m de Acharge verticale = 55 kN

F_AB = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 5 mhauteur = 4 mB est à 4 m de Acharge verticale = 45 kNcharge horizontale = 10 kN ←

F_AC = kN

7.Cadres et machinesMoyen

Le cadre en A représenté repose sur une articulation en A et un appui à rouleau en B, distants de 2 m, son articulation de sommet C étant à 3,6 m de hauteur et le tirant horizontal DE à 1,2 m au-dessus du sol. Une charge verticale de 6 kN agit sur la jambe AC en K, à 0,6 m (horizontalement) de A. Trouvez la tension T dans le tirant.

P = 6 kNAB = 2 mhauteur de C = 3,6 mhauteur de DE = 1,2 mdistance horizontale de A à K = 0,6 m

T = kN

8.Cadres et machinesDifficile

Le cadre en A représenté repose sur une articulation en A et un appui à rouleau en B, distants de 3,2 m. Les jambes se rejoignent à l’articulation C, à 2,5 m de hauteur, et sont reliées par la barre horizontale DE à 1,2 m. Une force horizontale de 6 kN dirigée vers la droite agit en C. Trouvez la tension T dans le tirant.

P = 6 kNAB = 3,2 mhauteur de C = 2,5 mhauteur de DE = 1,2 m

T = kN

9.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P₁ entre les appuis et une charge ponctuelle P₂ en C. Trouvez le moment fléchissant M_B à l’appui B. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5,5 mP₁ = 80 kN à 2 mP₂ = 15 kN à 5,5 mappuis en x = 0 et x = 4 m

M_B = kN·m

10.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée et une charge ponctuelle P. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 5 mP = 25 kN à 2 mw = 4 kN/m de 0 à 5 m

M_max = kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 130 mm de large et 24 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 240 mm et une âme de 12 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 40 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion maximale σ_max dans la section.

B = 130 mmH = 240 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

3Solutions

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: k = 5,75

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produit scalaire égal à zéro

a·b = 5·(−3) + 4·(−2) + 4·k = 0

−23 + 4·k = 0

Résoudre pour k

k = −(−23)/4 = 5,75

Réponse

k = 5,75

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: M_z = 40 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vecteur position de O à A

r = A − O = (4, 0, 1) − (0, 0, 0) = (4, 0, 1) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 0·(−10) − 1·10 = −10 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·10 − 4·(−10) = 50 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 4·10 − 0·10 = 40 N·m

Composante demandée

M_z = 40 N·m

Réponse

M_z = 40 N·m

3.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 10,5 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.

Résultante de la charge triangulaire

W = ½·6·5 = 15 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3,333 + 55·4,5

R_B = 59,5 kN

R_A = 70 − 59,5 = 10,5 kN

Réponse

R_A = 10,5 kN

4.Réactions d’appui des poutres

Réponse: M_A = 152,5 kN·m

Équilibre d’une console : un encastrement peut pousser vers le haut et aussi s’opposer à la rotation, il donne donc une réaction verticale R_A et un moment d’encastrement M_A. ΣF_y = 0 donne R_A, et les moments par rapport au mur donnent M_A = Σ(charge × distance au mur). Une charge répartie agit comme sa résultante au centre de gravité du diagramme de charge.

Résultante de la charge triangulaire

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Moment par rapport au mur

M_A = W·x̄ + P·a = 30·3,333 + 35·1,5 = 152,5 kN·m

Réponse

M_A = 152,5 kN·m

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AB = −24,79 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 → C_y = 41,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 41,25 = 13,75 kN

Nœud A

Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13,75/0,5547 = −24,79 kN

Réponse

F_AB = −24,79 kN (compression)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 7 kN

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·4 − 10·4 → C_y = 28 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 28 = 17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28/0,9701 = −28,86 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−28,86)·0,2425 = 7 kN

Réponse

F_AC = 7 kN (traction)

7.Cadres et machines

Réponse: T = 0,75 kN

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Cadre entier : moments autour de A

B_y = 6·0,6/2 = 1,8 kN

Jambe BC : moments autour de C

1,8·1 = T·2,4

T = 0,75 kN

Réponse

T = 0,75 kN

8.Cadres et machines

Réponse: T = 5,769 kN

Cadre entier : moments autour de A

B_y·3,2 = 6·2,5

B_y = 4,688 kN

Jambe BC : moments autour de C

4,688·1,6 = T·1,3

T = 5,769 kN

Réponse

T = 5,769 kN

Un T positif signifie que le tirant est en traction, comme supposé.

9.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_B = −22,5 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre. La charge du porte-à-faux crée aussi un moment par rapport à A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·2 + 15·5,5

R_B = 242,5/4 = 60,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 60,63 = 34,38 kN

Coupure en B en gardant le porte-à-faux

Seule P₂ agit sur le porte-à-faux, avec un bras de levier a. Elle fait fléchir la poutre vers le haut au-dessus de l’appui (flexion négative).

M_B = −P₂·a = −15·1,5 = −22,5 kN·m

Réponse

M_B = −22,5 kN·m

10.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 42 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2 + 4·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 20 = 25 kN

Où V = 0 ?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 17 kN

V(2⁺) = 17 − 25 = −8 kN

L’effort tranchant change de signe au droit de la charge, donc le maximum est sous la charge.

Moment maximal

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 25·2 − 4·2²/2 = 42 kN·m

Réponse

M_max = 42 kN·m

Il se trouve en x = 2 m à partir de A.

11.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 21,13 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

âme: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·172,5 + 2560·80)/8560 = 144,8 mm

Théorème de Huygens

semelle: 240·25³/12 + 6000·(172,5 − 144,8)² = 4,904 × 10⁶ mm⁴

âme: 16·160³/12 + 2560·(80 − 144,8)² = 1,622 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,904 × 10⁶ + 1,622 × 10⁷ = 2,113 × 10⁷ mm⁴ = 21,13 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 21,13 × 10⁶ mm⁴

12.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_max = 59,88 MPa

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 240 − 2·24 = 192 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·240³ − 118·192³)/12

I_x = 8,016 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 120 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·120/8,016 × 10⁷ = 59,88 MPa

Réponse

σ_max = 59,88 MPa

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