Statique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Norme: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vecteur unitaire: û = a/|a|
Composantes à partir d’un angle: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produit scalaire: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projection scalaire de a sur b: a·b/|b|
Travail: W = F·d
Produit vectoriel: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aires: parallélogramme |a × b|, triangle ½|a × b|
Moment par rapport à O: M_O = r × F, r = A − O
Volume d’un parallélépipède: V = |a·(b × c)|

Méthode

Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Cadres et machines

Équilibre de chaque élément: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Élément à deux forces: force dirigée selon la droite passant par ses deux articulations
Force d’articulation: égales et opposées sur les deux éléments qu’elle relie
Intensité d’une force d’articulation: F = √(F_x² + F_y²)
Levier, pince, levier coudé: F_in·a = F_out·b
Genouillère: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge

Méthode

Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercices

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielMoyen

Une force constante F = (−5, −10, −15) N agit sur un objet pendant qu’il se déplace en ligne droite du point A(1, −4, 1) au point B(1, 0, −4). Les coordonnées sont en mètres. Trouvez le travail W effectué par la force.

F = (−5, −10, −15) NA(1, −4, 1) mB(1, 0, −4) m

W = J

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielDifficile

Trouvez l’aire A du triangle de sommets A(4, −2, 3), B(−3, 3, 1) et C(4, −3, 1). Les coordonnées sont en mètres.

A(4, −2, 3)B(−3, 3, 1)C(4, −3, 1)

A = m²

3.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale R_B.

L = 8 mP₁ = 55 kN à 1 mP₂ = 45 kN à 5 m

R_B = kN

4.Réactions d’appui des poutresDifficile

Une poutre composée est encastrée dans le mur en A, comporte une articulation interne en C (à 5 m de A) et repose sur un appui simple en D (à 10 m de A). Elle porte une charge ponctuelle P à 6 m de A. Trouvez la réaction R_D à l’appui simple.

AC = 5 mAD = 10 mP = 75 kN à 6 m

R_D = kN

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 3 mB est à 3 m de Acharge verticale = 60 kN

F_AC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Exactement une barre de cette ferme ne supporte aucun effort sous ces charges. Laquelle est la barre à effort nul ? Cliquez dessus dans le schéma.

B: 10 kN ↓C: 40 kN ↓D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓H: 40 kN ↓H: 40 kN ←

1barre AB
2barre BC
3barre CD
4barre DE
5barre FG
6barre GH
7barre AF
8barre HE
9barre BF
10barre CG
11barre DH
12barre FC
13barre HC

7.Cadres et machinesMoyen

Une poutre horizontale AB est articulée à un mur en A et soutenue par la contrefiche CD, articulée au mur en C, 0,6 m sous A. Une charge de 10 kN est suspendue en B. Négligez les poids. Trouvez l’intensité de la force d’articulation A sur la poutre en A.

P = 10 kNAD = 0,8 mAB = 2,5 mAC = 0,6 m

A = kN

8.Cadres et machinesDifficile

Une flèche horizontale uniforme AB de poids 1 kN est articulée à un mur en A et retenue par un câble allant de son extrémité B au point C du mur, 4 m au-dessus de A. Une charge de 6 kN est suspendue en B. Trouvez la tension T dans le câble.

W = 6 kNW_b = 1 kNAB = 5 mAC = 4 m

T = kN

9.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 0,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mw = 4 kN/m de 0 à 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

10.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez la distance x₀ entre A et la section où le moment fléchissant est maximal.

L = 8 mw = 8 kN/m de 0 à 3 m

x₀ = m

11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 240 mm de large avec deux ailes verticales de 140 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 12 mm. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 240 mmh = 140 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 10 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_haut = MPa

3Solutions

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: W = 35 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Déplacement

d = B − A = (1, 0, −4) − (1, −4, 1) = (0, 4, −5) m

Travail

W = F·d = (−5)·0 + (−10)·4 + (−15)·(−5) = 35 J

Réponse

W = 35 J

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: A = 9,862 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vecteurs d’arête

AB = B − A = (−7, 5, −2)

AC = C − A = (0, −1, −2)

Produit vectoriel

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 5·(−2) − (−2)·(−1) = −12

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−2)·0 − (−7)·(−2) = −14

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−7)·(−1) − 5·0 = 7

|AB × AC| = √((−12)² + (−14)² + 7²) = 19,72

Aire du triangle

A = ½·19,72 = 9,862 m²

Réponse

A = 9,862 m²

3.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_B = 35 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·1 + 45·5

R_B = 280/8 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 35 = 65 kN

Réponse

R_B = 35 kN

4.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_D = 15 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation. Une articulation interne ne peut pas transmettre de moment fléchissant, ce qui donne une équation supplémentaire : le moment par rapport à l’articulation des forces de chaque côté est nul.

Partie CD

L’articulation ne transmet pas de moment, donc les moments par rapport à C sur la seule partie CD doivent s’équilibrer.

ΣM_C = 0: R_D·5 = 75·1

R_D = 15 kN

V_C = 75 − 15 = 60 kN

Réponse

R_D = 15 kN

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 15 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45/0,9487 = −47,43 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−47,43)·0,3162 = 15 kN

Réponse

F_AC = 15 kN (traction)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: barre CG

Barres à effort nul : à un nœud, les forces doivent s’équilibrer dans toutes les directions. Si un nœud n’a ni charge ni appui, et que deux de ses trois barres sont alignées, alors l’équilibre perpendiculairement à cette ligne ne fait intervenir que la troisième barre, donc son effort est nul. Si seulement deux barres se rejoignent à un nœud non chargé et qu’elles ne sont pas alignées, les deux sont nulles.

Nœud G

FG et GH sont sur une même droite et le nœud ne porte aucune charge. L’équilibre des forces perpendiculairement à cette droite ne laisse que CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Vérification avec la méthode des nœuds

La résolution de tous les nœuds donne ces efforts dans les barres (T = traction, C = compression).

AB: 40 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 70 kN (T), FG: 115 kN (C), GH: 115 kN (C), AF: 113,1 kN (C), HE: 98,99 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 49,5 kN (T), HC: 7,071 kN (T)

Réponse

Barre à effort nul: CG

7.Cadres et machines

Réponse: A = 46,77 kN

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Force dans la contrefiche

F_CD = 10·2,5/(0,6·0,8) = 52,08 kN

Composantes en A

A_x = F_CD·cos α = 41,67 kN (vers le mur)

A_y = 10 − F_CD·sin α = −21,25 kN

Norme

A = √(41,67² + −21,25²) = 46,77 kN

Réponse

A = 46,77 kN

Un A_y négatif signifie que le mur tire la poutre vers le bas en A.

8.Cadres et machines

Réponse: T = 10,41 kN

Angle du câble

BC = √(5² + 4²) = 6,403 m, sin β = 0,6247

Moments par rapport à A

T·0,6247·5 = 6·5 + 1·2,5

T = 10,41 kN

Réponse

T = 10,41 kN

9.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 4,5 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Couper en x = 0,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 10·0,5 − 4·0,5·0,25 = 4,5 kN·m

Réponse

M_x = 4,5 kN·m

10.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x₀ = 2,438 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, appliquée en x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·3·1,5

R_B = 36/8 = 4,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 4,5 = 19,5 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 19,5/8 = 2,438 m

Réponse

x₀ = 2,438 m

11.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 240·12 = 2880 mm², y₁ = 6 mm

deux ailes: A₂ = 2·12·128 = 3072 mm², y₂ = 12 + 128/2 = 76 mm

Centre de gravité

ȳ = (2880·6 + 3072·76)/5952 = 42,13 mm

Théorème de Huygens

excipient: 240·12³/12 + 2880·(6 − 42,13)² = 3,794 × 10⁶ mm⁴

deux ailes: 2·12·128³/12 + 3072·(76 − 42,13)² = 7,719 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,794 × 10⁶ + 7,719 × 10⁶

I_x = 1,151 × 10⁷ mm⁴ = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 11,51 × 10⁶ mm⁴

12.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 39,68 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

âme: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·145 + 1400·70)/4200 = 120 mm

Théorème de Huygens

semelle: 280·10³/12 + 2800·(145 − 120)² = 1,773 × 10⁶ mm⁴

âme: 10·140³/12 + 1400·(70 − 120)² = 5,787 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,773 × 10⁶ + 5,787 × 10⁶ = 7,56 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 150 − 120 = 30 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·30/7,56 × 10⁶ = 39,68 MPa

Réponse

σ_haut = 39,68 MPa

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