Statique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Norme: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vecteur unitaire: û = a/|a|
Composantes à partir d’un angle: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produit scalaire: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projection scalaire de a sur b: a·b/|b|
Travail: W = F·d
Produit vectoriel: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aires: parallélogramme |a × b|, triangle ½|a × b|
Moment par rapport à O: M_O = r × F, r = A − O
Volume d’un parallélépipède: V = |a·(b × c)|

Méthode

Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Cadres et machines

Équilibre de chaque élément: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Élément à deux forces: force dirigée selon la droite passant par ses deux articulations
Force d’articulation: égales et opposées sur les deux éléments qu’elle relie
Intensité d’une force d’articulation: F = √(F_x² + F_y²)
Levier, pince, levier coudé: F_in·a = F_out·b
Genouillère: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge

Méthode

Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercices

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielMoyen

Trouvez la projection scalaire comp_b a de a = (−7, 6, 4) sur b = (5, −5, 4), c’est-à-dire la composante de a dans la direction de b.

a = (−7, 6, 4)b = (5, −5, 4)

comp_b a =

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielDifficile

Pour a = (−5, 6, 3) et b = (5, −1, −3), trouvez la composante x (a × b)_x du produit vectoriel a × b.

a = (−5, 6, 3)b = (5, −1, −3)

(a × b)_x =

3.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale R_B.

L = 6 mP₁ = 15 kN à 4 mP₂ = 40 kN à 4,5 m

R_B = kN

4.Réactions d’appui des poutresDifficile

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Une charge P agit à 4 m de A, inclinée de 45° par rapport à l’horizontale, et une charge verticale Q agit à 9 m de A. Trouvez l’intensité de la réaction totale R_A à l’articulation A.

L = 10 mP = 70 kN à 4 m, θ = 45°Q = 30 kN à 9 m

R_A = kN

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 5 mhauteur = 2 mB est à 4 m de Acharge verticale = 15 kN

F_AC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AB dans la barre AB. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 8 mhauteur = 3 mB est à 3 m de Acharge verticale = 10 kNcharge horizontale = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Cadres et machinesMoyen

Le cadre en A représenté repose sur une articulation en A et un appui à rouleau en B, distants de 2 m, son articulation de sommet C étant à 3,6 m de hauteur et le tirant horizontal DE à 2 m au-dessus du sol. Une charge verticale de 8 kN agit sur la jambe AC en K, à 0,75 m (horizontalement) de A. Trouvez la tension T dans le tirant.

P = 8 kNAB = 2 mhauteur de C = 3,6 mhauteur de DE = 2 mdistance horizontale de A à K = 0,75 m

T = kN

8.Cadres et machinesDifficile

Le cadre en A représenté repose sur une articulation en A et un appui à rouleau en B, distants de 3,2 m. Les jambes se rejoignent à l’articulation C, à 2,4 m de hauteur, et sont reliées par la barre horizontale DE à 0,6 m. Une force horizontale de 2 kN dirigée vers la droite agit en C. Trouvez la tension T dans le tirant.

P = 2 kNAB = 3,2 mhauteur de C = 2,4 mhauteur de DE = 0,6 m

T = kN

9.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La console est encastrée en A. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à 4,5 m de A. Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2,5 m à partir de l’encastrement A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mP = 80 kN à 4,5 mw = 10 kN/m de 0 à 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

10.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée et une charge ponctuelle P. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 8 mP = 35 kN à 5 mw = 10 kN/m de 0 à 8 m

M_max = kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en I symétrique a des semelles de 160 mm de large et 18 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 500 mm et une âme de 14 mm d’épaisseur. Trouvez son module de flexion élastique S_x pour la flexion autour de l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 160 mmH = 500 mmt_f = 18 mmt_w = 14 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 130 mm de large et 16 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 400 mm et une âme de 6 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 40 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σ_j à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 130 mmH = 400 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 40 kN·m

σ_j = MPa

3Solutions

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: comp_b a = −6,031

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produit scalaire

a·b = (−7)·5 + 6·(−5) + 4·4 = −49

Longueur de b

|b| = √(5² + (−5)² + 4²) = 8,124

Projection scalaire

comp_b a = a·b/|b| = −49/8,124 = −6,031

Réponse

comp_b a = −6,031

Négatif : a a une composante dirigée à l’opposé de b.

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: (a × b)_x = −15

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produit vectoriel, composante par composante

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·(−3) − 3·(−1) = −15

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·5 − (−5)·(−3) = 0

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−1) − 6·5 = −25

Composante demandée

(a × b)_x = −15

Réponse

(a × b)_x = −15

Vérification : a × b est perpendiculaire aux deux vecteurs, donc son produit scalaire avec a et avec b est nul.

3.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_B = 40 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4 + 40·4,5

R_B = 240/6 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 40 = 15 kN

Réponse

R_B = 40 kN

4.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 59,32 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.

Composantes de P

P_v = 70·sin 45° = 49,5 kN

P_h = 70·cos 45° = 49,5 kN

Réactions

ΣM_A = 0: R_B·10 = 49,5·4 + 30·9 → R_B = 46,8 kN

A_y = 49,5 + 30 − 46,8 = 32,7 kN

A_x = P_h = 49,5 kN

Résultante en A

R_A = √(49,5² + 32,7²) = 59,32 kN

Réponse

R_A = 59,32 kN

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 6 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·4 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 12 = 3 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12/0,8944 = −13,42 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−13,42)·0,4472 = 6 kN

Réponse

F_AC = 6 kN (traction)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AB = −16,79 kN

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·3 − 15·3 → C_y = −1,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −1,875 = 11,88 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Nœud A

Supposez toutes les barres en traction (elles tirent vers l’extérieur du nœud). Seule AB a une composante verticale en A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −11,88/0,7071 = −16,79 kN

Réponse

F_AB = −16,79 kN (compression)

7.Cadres et machines

Réponse: T = 1,875 kN

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Cadre entier : moments autour de A

B_y = 8·0,75/2 = 3 kN

Jambe BC : moments autour de C

3·1 = T·1,6

T = 1,875 kN

Réponse

T = 1,875 kN

8.Cadres et machines

Réponse: T = 1,333 kN

Cadre entier : moments autour de A

B_y·3,2 = 2·2,4

B_y = 1,5 kN

Jambe BC : moments autour de C

1,5·1,6 = T·1,8

T = 1,333 kN

Réponse

T = 1,333 kN

Un T positif signifie que le tirant est en traction, comme supposé.

9.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = −191,3 kN·m

Garder la partie côté extrémité libre

P: −80·2 = −160 kN·m

w: −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m

M_x = −160 − 31,25 = −191,3 kN·m

Réponse

M_x = −191,3 kN·m

Négatif signifie flexion négative : la face supérieure est tendue.

10.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 140,6 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·5 + 10·8·4

R_B = 495/8 = 61,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 61,88 = 53,13 kN

Où V = 0 ?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 3,125 kN

V(5⁺) = 3,125 − 35 = −31,88 kN

L’effort tranchant change de signe au droit de la charge, donc le maximum est sous la charge.

Moment maximal

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 53,13·5 − 10·5²/2 = 140,6 kN·m

Réponse

M_max = 140,6 kN·m

Il se trouve en x = 5 m à partir de A.

11.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: S_x = 1805 × 10³ mm³

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 500 − 2·18 = 464 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·500³ − 146·464³)/12

I_x = 4,512 × 10⁸ mm⁴

Module de flexion

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 4,512 × 10⁸/250

S_x = 1,805 × 10⁶ mm³ = 1805 × 10³ mm³

Réponse

S_x = 1805 × 10³ mm³

12.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_j = 41,26 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 400 − 2·16 = 368 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·400³ − 124·368³)/12

I_x = 1,784 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 200 − 16 = 184 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·184/1,784 × 10⁸ = 41,26 MPa

Réponse

σ_j = 41,26 MPa

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