Statique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Norme: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vecteur unitaire: û = a/|a|
Composantes à partir d’un angle: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produit scalaire: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projection scalaire de a sur b: a·b/|b|
Travail: W = F·d
Produit vectoriel: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aires: parallélogramme |a × b|, triangle ½|a × b|
Moment par rapport à O: M_O = r × F, r = A − O
Volume d’un parallélépipède: V = |a·(b × c)|

Méthode

Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Cadres et machines

Équilibre de chaque élément: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Élément à deux forces: force dirigée selon la droite passant par ses deux articulations
Force d’articulation: égales et opposées sur les deux éléments qu’elle relie
Intensité d’une force d’articulation: F = √(F_x² + F_y²)
Levier, pince, levier coudé: F_in·a = F_out·b
Genouillère: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge

Méthode

Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercices

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielMoyen

Trouvez l’angle θ entre les vecteurs a = (1, −3, 3) et b = (0, −1, 4), en degrés.

a = (1, −3, 3)b = (0, −1, 4)

θ = °

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielDifficile

Pour a = (4, 2, −5) et b = (−4, −6, 2), trouvez la composante z (a × b)_z du produit vectoriel a × b.

a = (4, 2, −5)b = (−4, −6, 2)

(a × b)_z =

3.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Elle porte une charge ponctuelle P à 2,5 m de A et un couple trigonométrique M à 2 m de A. Trouvez la réaction verticale R_A, en comptant positif vers le haut.

L = 4 mP = 40 kN à 2,5 mM = 15 kN·m (trigonométrique) à 2 m

R_A = kN

4.Réactions d’appui des poutresDifficile

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Une charge P agit à 5 m de A, inclinée de 40° par rapport à l’horizontale, et une charge verticale Q agit à 1 m de A. Trouvez l’intensité de la réaction totale R_A à l’articulation A.

L = 10 mP = 10 kN à 5 m, θ = 40°Q = 75 kN à 1 m

R_A = kN

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_BC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 6 mhauteur = 4 mB est à 2 m de Acharge verticale = 25 kN

F_BC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_AC dans la barre AC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 4 mhauteur = 4 mB est à 3 m de Acharge verticale = 25 kNcharge horizontale = 30 kN →

F_AC = kN

7.Cadres et machinesMoyen

Le cadre en A représenté repose sur une articulation en A et un appui à rouleau en B, distants de 2,4 m. Les jambes se rejoignent à l’articulation C, à 3,6 m de hauteur, et le tirant horizontal DE est à 2 m au-dessus du sol. Une charge de 12 kN agit en C. Trouvez l’intensité de la force C que l’articulation C exerce sur la jambe BC.

P = 12 kNAB = 2,4 mhauteur de C = 3,6 mhauteur de DE = 2 m

C = kN

8.Cadres et machinesDifficile

Le cadre en A représenté repose sur une articulation en A et un appui à rouleau en B, distants de 2 m, son articulation de sommet C étant à 3 m de hauteur et le tirant horizontal DE à 1,2 m au-dessus du sol. Une charge verticale de 15 kN agit sur la jambe AC en K, à 0,25 m (horizontalement) de A. Trouvez l’intensité de la force C que l’articulation C exerce sur la jambe BC.

P = 15 kNAB = 2 mhauteur de C = 3 mhauteur de DE = 1,2 mdistance horizontale de A à K = 0,25 m

C = kN

9.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez l’effort tranchant V_x dans la section x = 4,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mw = 8 kN/m de 0 à 5 mx = 4,5 m

V_x = kN

10.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 4 mw = 16 kN/m de 1 à 3 m

M_max = kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 100 mm de large avec deux ailes verticales de 140 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 12 mm. Trouvez la hauteur ȳ du centre de gravité au-dessus du bord inférieur.

b = 100 mmh = 140 mmt = 12 mm

ȳ = mm

12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 200 mm × 150 mm a une découpe rectangulaire de 40 mm de large et 30 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 97,5 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 200 mmh = 150 mmdécoupe: 40 × 30 mmcentre du trou: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Solutions

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: θ = 33,42 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produit scalaire

a·b = 1·0 + (−3)·(−1) + 3·4 = 15

Normes

|a| = √(1² + (−3)² + 3²) = 4,359

|b| = √(0² + (−1)² + 4²) = 4,123

Angle

cos θ = 15/(4,359·4,123) = 0,8346

θ = arccos(0,8346) = 33,42°

Réponse

θ = 33,42°

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: (a × b)_z = −16

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produit vectoriel, composante par composante

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·2 − (−5)·(−6) = −26

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−4) − 4·2 = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−6) − 2·(−4) = −16

Composante demandée

(a × b)_z = −16

Réponse

(a × b)_z = −16

Vérification : a × b est perpendiculaire aux deux vecteurs, donc son produit scalaire avec a et avec b est nul.

3.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 18,75 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Remplacez chaque charge répartie par sa résultante (son aire) appliquée au centre de gravité du diagramme de charge, et prenez les moments par rapport à un appui pour éliminer la réaction de cet appui de l’équation.

Moments par rapport à A

Sens trigonométrique positif.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 40·2,5 + 15 = 0

R_B = 85/4 = 21,25 kN

Équilibre vertical

R_A = 40 − 21,25 = 18,75 kN

Réponse

R_A = 18,75 kN

Une réaction négative est dirigée vers le bas.

4.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 71,13 kN

Composantes de P

P_v = 10·sin 40° = 6,428 kN

P_h = 10·cos 40° = 7,66 kN

Réactions

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6,428·5 + 75·1 → R_B = 10,71 kN

A_y = 6,428 + 75 − 10,71 = 70,71 kN

A_x = P_h = 7,66 kN

Résultante en A

R_A = √(7,66² + 70,71²) = 71,13 kN

Réponse

R_A = 71,13 kN

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_BC = −11,79 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 8,333 = 16,67 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,333/0,7071 = −11,79 kN

Réponse

F_BC = −11,79 kN (compression)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_AC = 12,19 kN

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 + 30·4 → C_y = 48,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 48,75 = −23,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −48,75/0,9701 = −50,25 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−50,25)·0,2425 = 12,19 kN

Réponse

F_AC = 12,19 kN (traction)

7.Cadres et machines

Réponse: C = 7,5 kN

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Force du tirant à partir de la jambe BC

B_y = 6 kN

T = 6·1,2/1,6 = 4,5 kN

Composantes de la force d’articulation sur BC

C_x = T = 4,5 kN, C_y = −B_y = −6 kN

Norme

C = √(4,5² + 6²) = 7,5 kN

Réponse

C = 7,5 kN

8.Cadres et machines

Réponse: C = 2,145 kN

Réaction d’appui en B

B_y = 15·0,25/2 = 1,875 kN

Force du tirant

T = 1,875·1/1,8 = 1,042 kN

Force d’articulation sur BC

C_x = 1,042 kN, C_y = −1,875 kN

C = √(1,042² + 1,875²) = 2,145 kN

Réponse

C = 2,145 kN

9.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: V_x = −16 kN

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Couper en x = 4,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

V = R_A − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)

V_x = 20 − 8·4,5 = −16 kN

Réponse

V_x = −16 kN

10.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 24 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 16·2·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 16/16 = 2 m

Moment maximal

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 16·2 − 16·1²/2 = 24 kN·m

Réponse

M_max = 24 kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: ȳ = 56,34 mm

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 100·12 = 1200 mm², y₁ = 6 mm

deux ailes: A₂ = 2·12·128 = 3072 mm², y₂ = 12 + 128/2 = 76 mm

Centre de gravité

ȳ = (1200·6 + 3072·76)/4272 = 56,34 mm

Réponse

ȳ = 56,34 mm

12.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 55,53 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (30000·75 − 1200·97,5)/(30000 − 1200) = 74,06 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

200·150³/12 + 30000·0,9375² = 56,28 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

40·30³/12 + 1200·23,44² = 0,7492 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 55,53 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 55,53 × 10⁶ mm⁴

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