Statique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Norme: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vecteur unitaire: û = a/|a|
Composantes à partir d’un angle: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Produit scalaire: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Projection scalaire de a sur b: a·b/|b|
Travail: W = F·d
Produit vectoriel: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Aires: parallélogramme |a × b|, triangle ½|a × b|
Moment par rapport à O: M_O = r × F, r = A − O
Volume d’un parallélépipède: V = |a·(b × c)|

Méthode

Écrivez chaque vecteur en composantes ; pour une force donnée par une norme et un angle, utilisez F·cos θ et F·sin θ.
Pour les longueurs et les directions, utilisez la norme √(x² + y² + z²) et le vecteur unitaire a/|a|.
Utilisez le produit scalaire pour les angles, les projections, la perpendicularité et le travail : a·b = |a||b|cos θ.
Utilisez le produit vectoriel pour les vecteurs perpendiculaires, les aires et les moments : écrivez soigneusement les trois composantes, en gardant l’ordre a × b.

Réactions d’appui des poutres

Équilibre: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge
Moment: M = F·d

Méthode

Tracez un diagramme du corps libre et remplacez chaque appui par ses réactions.
Remplacez chaque charge répartie par une force unique appliquée en son centre de gravité.
Prenez les moments par rapport à un appui pour trouver la réaction à l’autre.
Utilisez ΣF_y = 0 pour trouver la réaction restante, et vérifiez avec une seconde équation de moments.

Treillis : méthode des nœuds

Méthode des nœuds: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Méthode des coupures: ΣM = 0 about a cut point
Effort dans la barre: positif = traction, négatif = compression

Méthode

Trouvez les réactions d’appui du treillis entier.
Méthode des nœuds : commencez par un nœud avec au plus deux efforts inconnus dans les barres et utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0.
Méthode des sections (de Ritter) : coupez la barre voulue et prenez les moments par rapport au point où se croisent les autres barres inconnues.
Supposez la traction ; une réponse négative signifie une compression.

Cadres et machines

Équilibre de chaque élément: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Élément à deux forces: force dirigée selon la droite passant par ses deux articulations
Force d’articulation: égales et opposées sur les deux éléments qu’elle relie
Intensité d’une force d’articulation: F = √(F_x² + F_y²)
Levier, pince, levier coudé: F_in·a = F_out·b
Genouillère: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Charge uniformément répartie: résultante w·L au milieu de la charge

Méthode

Dessinez toute la structure et trouvez les réactions d’appui s’il n’y a pas plus de trois inconnues.
Repérez les éléments à deux forces : chargés seulement en deux articulations, leur force agit selon la droite qui joint ces articulations.
Démontez le cadre et dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées là où les éléments se rejoignent.
Pour chaque élément, prenez les moments autour d’une articulation où agissent des forces inconnues, puis utilisez ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 ; combinez les composantes en une intensité à la fin.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Exercices

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielMoyen

Trouvez l’angle θ entre les vecteurs a = (3, −4, 2) et b = (5, 1, −6), en degrés.

a = (3, −4, 2)b = (5, 1, −6)

θ = °

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectorielDifficile

Le vecteur unitaire n̂ est perpendiculaire à a = (4, 3, 2) et à b = (−3, −2, 2) et a une composante z positive. Trouvez sa composante y n̂_y.

a = (4, 3, 2)b = (−3, −2, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Réactions d’appui des poutresMoyen

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale R_A.

L = 5 mP₁ = 55 kN à 1 mP₂ = 25 kN à 2 m

R_A = kN

4.Réactions d’appui des poutresDifficile

La poutre sur deux appuis a une articulation en A et un appui simple en B. Trouvez la réaction verticale R_B.

L = 8 mP = 40 kN à 1 mw = 12 kN/m de 5 à 6 m

R_B = kN

5.Treillis : méthode des nœudsMoyen

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_BC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 5 mhauteur = 4 mB est à 1 m de Acharge verticale = 30 kN

F_BC = kN

6.Treillis : méthode des nœudsDifficile

Utilisez la méthode des nœuds pour trouver l’effort F_BC dans la barre BC. Donnez la traction en positif et la compression en négatif.

portée = 5 mhauteur = 3 mB est à 4 m de Acharge verticale = 30 kNcharge horizontale = 5 kN →

F_BC = kN

7.Cadres et machinesMoyen

Dans le serre-joint à genouillère représenté, deux biellettes égales AB et BC sont articulées ensemble en B, et chacune fait 5° avec la droite AC. Une force dirigée vers le bas de 150 N est appliquée en B. Le coulisseau C presse une pièce. En négligeant le frottement et les poids, trouvez la force de serrage horizontale Q.

F = 150 Nθ = 5°

Q = N

8.Cadres et machinesDifficile

Une flèche horizontale uniforme AB de poids 0,5 kN est articulée à un mur en A et retenue par un câble allant de B au point C du mur, 1,5 m au-dessus de A. Une charge de 12 kN est suspendue en B. Trouvez l’intensité de la réaction d’articulation A.

W = 12 kNW_b = 0,5 kNAB = 5 mAC = 1,5 m

A = kN

9.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 4 m10 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 6 m20 kN @ 3 m15 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 160 × 14 mm, une âme de 220 mm de haut et 10 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 230 × 18 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 160 × 14 mmâme: 10 × 220 mmsemelle inférieure: 230 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Solutions

1.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: θ = 91,35 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Produit scalaire

a·b = 3·5 + (−4)·1 + 2·(−6) = −1

Normes

|a| = √(3² + (−4)² + 2²) = 5,385

|b| = √(5² + 1² + (−6)²) = 7,874

Angle

cos θ = −1/(5,385·7,874) = −0,02358

θ = arccos(−0,02358) = 91,35°

Réponse

θ = 91,35°

2.Vecteurs : produit scalaire et produit vectoriel

Réponse: n̂_y = −0,8124

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Produit vectoriel

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·2 − 2·(−2) = 10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·(−3) − 4·2 = −14

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−2) − 3·(−3) = 1

Normaliser

La composante z de a × b est déjà positive.

|a × b| = √(10² + (−14)² + 1²) = 17,23

n̂ = (10, −14, 1)/17,23 = (0,5803, −0,8124, 0,05803)

n̂_y = −0,8124

Réponse

n̂_y = −0,8124

3.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_A = 59 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 25·2

R_B = 105/5 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 21 = 59 kN

Réponse

R_A = 59 kN

4.Réactions d’appui des poutres

Réponse: R_B = 13,25 kN

Équilibre statique : un corps au repos vérifie ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 par rapport à tout point. Prendre les moments par rapport à un appui élimine sa réaction de l’équation.

Schéma du corps libre

Remplacez les appuis par des réactions. Un appui simple donne une réaction verticale ; avec des charges uniquement verticales, l’articulation ne donne aussi qu’une réaction verticale.

Équilibre

Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire. Puis équilibre des forces verticales.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN, appliquée en x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 12·1·5,5

R_B = 106/8 = 13,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 13,25 = 38,75 kN

Réponse

R_B = 13,25 kN

5.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_BC = −8,485 kN

Méthode des nœuds : chaque nœud d’un treillis est en équilibre, donc ΣF_x = 0 et ΣF_y = 0 en chaque nœud. Commencez par un nœud ayant au plus deux efforts inconnus. Un résultat négatif signifie que la barre est comprimée.

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·1 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 6 = 24 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6/0,7071 = −8,485 kN

Réponse

F_BC = −8,485 kN (compression)

6.Treillis : méthode des nœuds

Réponse: F_BC = −28,46 kN

Réactions d’appui

Équilibre de tout le treillis. Moments par rapport à A, positifs dans le sens antihoraire.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·4 + 5·3 → C_y = 27 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 27 = 3 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Nœud C

L’appui simple ne donne qu’une réaction verticale, donc le nœud C n’a que deux efforts de barre inconnus. Supposez-les tous deux en traction.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27/0,9487 = −28,46 kN

Réponse

F_BC = −28,46 kN (compression)

7.Cadres et machines

Réponse: Q = 857,3 N

Machines : les pinces, leviers, mécanismes articulés et serre-joints transforment une force d’entrée en une force de sortie plus grande ou dirigée autrement. Dessinez une seule pièce comme un corps libre et prenez les moments autour de son pivot : la force d’articulation disparaît, et F_in·a = F_out·b donne l’avantage mécanique a/b. La force d’articulation découle ensuite de ΣF = 0 sur la même pièce. Dans une genouillère, deux biellettes se rejoignent sous un faible angle θ ; chaque biellette est un élément à deux forces, donc une petite force F à l’articulation crée de grandes forces dans les biellettes F/(2 sin θ) et une force de serrage F/(2 tan θ).

Équilibre de l’articulation B

2·F_link·sin 5° = 150

F_link = 860,5 N

Force de serrage

Q = F_link·cos 5° = 150/(2·tan 5°) = 857,3 N

Réponse

Q = 857,3 N

Le rapport des forces Q/F = 5,715 croît sans limite lorsque les biellettes se redressent.

8.Cadres et machines

Réponse: A = 40,83 kN

Cadres et machines : contrairement à un treillis, un cadre contient au moins un élément qui supporte des forces en plus de deux points, ou une charge entre ses articulations. Cherchez d’abord les éléments à deux forces : un élément chargé seulement en deux articulations a sa force selon la droite qui les joint, donc il n’ajoute qu’une inconnue, et non deux. Utilisez ensuite la structure entière pour les réactions d’appui lorsqu’il n’y a pas plus de trois inconnues. Enfin, démontez le cadre : dessinez chaque élément séparément, avec des forces d’articulation égales et opposées sur les deux éléments qu’elles relient, et écrivez ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0 pour lui. Prendre les moments autour d’une articulation supprime de l’équation les deux composantes de la force de cette articulation.

Tension du câble

T = (12 + 0,5/2)/0,2873 = 42,63 kN

Composantes en A

A_x = T·cos β = 40,83 kN

A_y = 12 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

Norme

A = √(40,83² + 0,25²) = 40,83 kN

Réponse

A = 40,83 kN

9.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 41,67 kN, R₂ = 23,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 83,33, M_C = 166,7 kN·m, M_D = 140, M_E = 93,33, M_F = 46,67, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 166,7 kN·m

10.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 7,5 kN, R₂ = 127,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 0, M_C = −15, M_D = −45, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = −110 kN·m

11.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 26,49 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

âme: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·245 + 1920·120)/4520 = 191,9 mm

Théorème de Huygens

semelle: 260·10³/12 + 2600·(245 − 191,9)² = 7,352 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·240³/12 + 1920·(120 − 191,9)² = 1,914 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,352 × 10⁶ + 1,914 × 10⁷ = 2,649 × 10⁷ mm⁴ = 26,49 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 26,49 × 10⁶ mm⁴

12.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 92,11 × 10⁶ mm⁴

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 2240 mm², y = 245 mm

âme: A = 2200 mm², y = 128 mm

semelle inférieure: A = 4140 mm², y = 9 mm

Centre de gravité

ȳ = (2240·245 + 2200·128 + 4140·9)/8580 = 101,1 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 160·14³/12 + 2240·143,9² = 4,64 × 10⁷ mm⁴

âme: 10·220³/12 + 2200·26,87² = 1,046 × 10⁷ mm⁴

semelle inférieure: 230·18³/12 + 4140·92,13² = 3,525 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,64 × 10⁷ + 1,046 × 10⁷ + 3,525 × 10⁷

I_x = 9,211 × 10⁷ mm⁴ = 92,11 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 92,11 × 10⁶ mm⁴

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