Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 38, 57, 28, 58, 56, 18, 12.

n = 7

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 188,8.

μ = 170σ = 15x = 188,8

z =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2

σ =

4.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = −2X + 1. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,25Y = −2X + 1

σ_Y =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,7995. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,7995

z =

6.Loi normaleDifficile

Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 85 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 100 pointsσ = 15 points85%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 8 éléments a une moyenne de 52,5 et un écart-type s = 8,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

n = 8x̄ = 52,5s = 8,595%t(7) = 2,365

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 33. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?

σ = 33E = 395%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 53,5 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 53,5s = 15n = 81

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 202. L'écart-type de la population est 5. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

x̄ = 202σ = 5n = 4990%

L =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 6

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 17 ?

n = 6ŷ = 17

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 19,41

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 267/7 = 38,14

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−0,1429)² + 18,86² + (−10,14)² + 19,86² + 17,86² + (−20,14)² + (−26,14)² = 2261

Écart-type

s = √(2261/6) = 19,41

Réponse

s = 19,41

2.Statistique descriptive

Réponse: z = 1,25

Centrer-réduire

z = (188,8 − 170)/15 = 1,25

Réponse

z = 1,25

3.Probabilités

Réponse: σ = 1,114

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,2 = 1,4

Moyenne des carrés

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,2 = 3,2

Variance

Var(X) = 3,2 − 1,4² = 1,24

σ = √1,24 = 1,114

Réponse

σ = 1,114

4.Probabilités

Réponse: σ_Y = 2,324

Dispersion de X

μ = 1,5, Var(X) = 1,35, σ_X = 1,162

Changement linéaire

σ_Y = |−2|·1,162 = 2,324

Réponse

σ_Y = 2,324

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = −2·1,5 + 1 = −2.

5.Loi normale

Réponse: z = −0,84

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = 1 − 0,7995 = 0,2005

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,2005 dans la table et lisez z.

z = −0,84

Réponse

z = −0,84

6.Loi normale

Réponse: x = 84,4 points

Aire à gauche

Φ(z) = 0,15

z d’après la table

z ≈ −1,04

Retour aux unités d’origine

x = 100 − 1,04·15 = 84,4 points

Réponse

x = 84,4 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 59,61

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Marge d'erreur

E = 2,365·8,5/√8 = 7,107

Intervalle

52,5 ± 7,107 → [45,39, 59,61]

Réponse

borne supérieure = 59,61

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 465

Résoudre pour n

n = (1,96·33/3)² = 464,8

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 465

Réponse

n = 465

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,1

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Statistique de test

t = (53,5 − 50)/1,667 = 2,1

Réponse

t = 2,1

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: L = 200,8

Marge d'erreur

E = 1,645·5/√49 = 1,175

Borne de l'intervalle

L = 202 − 1,175 = 200,8

Réponse

L = 200,8

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9853

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 157/6 = 26,17

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 255

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 942,8

Coefficient de détermination

r² = 255²/(70·942,8) = 0,9853

Réponse

r² = 0,9853

Environ 98,53 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 3,807

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 107/6 = 17,83

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47,5

Droite de régression

b = −47,5/17,5 = −2,714

a = 17,83 − (−2,714)·3,5 = 27,33

ŷ = 27,33 − 2,714·x

Résoudre pour x

x = (17 − 27,33)/(−2,714) = 3,807

Réponse

x = 3,807

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