Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 50, 36, 54, 46, 51, 16.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 8. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 44 ?

μ = 60σ = 8x = 44

P =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,05, 0,25, 0,25, 0,25

Var(X) =

4.ProbabilitésDifficile

Un jeu coûte 3 € pour jouer. Vous gagnez 9 € avec la probabilité 0,1 et 150 € avec la probabilité 0,01 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.

mise = €3€9: p = 0,1€150: p = 0,01

E(G) = €

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Quelle proportion se situe entre 70,75 et 118 points ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 70,75x₂ = 118

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart type 7 cm. Faites glisser le seuil pour que les 80 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 178 cmσ = 7 cm80%

x = cm

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 12 éléments a une moyenne de 84,5 et un écart-type s = 12. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 12x̄ = 84,5s = 1299%t(11) = 3,106

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

Les diamètres de 30 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 2,5 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 29, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 16,047 et 2,5 % au-dessus de 45,722.

n = 30s = 2,5 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 25 étudiants a une note moyenne de 119,1 et un écart-type d'échantillon de 5. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 119,1s = 5n = 25

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 2 ? L'écart-type est 20. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 20E = 295%

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 6

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (7, 7). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 6(7, 7)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 14,26

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 253/6 = 42,17

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 7,833² + (−6,167)² + 11,83² + 3,833² + 8,833² + (−26,17)² = 1017

Écart-type

s = √(1017/5) = 14,26

Réponse

s = 14,26

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,9772

Centrer-réduire

z = −2

Table de la loi normale

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Réponse

P = 0,9772

3.Probabilités

Réponse: Var(X) = 2,01

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 1·0,2 + 2·0,05 + 3·0,25 + 4·0,25 + 5·0,25 = 3,3

Moyenne des carrés

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,05 + 9·0,25 + 16·0,25 + 25·0,25 = 12,9

Variance

Var(X) = 12,9 − 3,3² = 2,01

Réponse

Var(X) = 2,01

4.Probabilités

Réponse: E(G) = −0,6 €

Résultats nets

G: 6 (p = 0,1), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,89)

Espérance

E(G) = 6·0,1 + 147·0,01 − 3·0,89 = −0,6 €

Réponse

E(G) = −0,6 €

Une valeur négative signifie que vous perdez de l’argent en moyenne.

5.Loi normale

Réponse: P = 0,8593

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(1,2) − Φ(−1,95) = 0,8849 − 0,02559 = 0,8593

Réponse

P = 0,8593

6.Loi normale

Réponse: x = 183,9 cm

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,8

z d’après la table

z ≈ 0,84

Retour aux unités d’origine

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Réponse

x = 183,9 cm

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 95,26

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Marge d'erreur

E = 3,106·12/√12 = 10,76

Intervalle

84,5 ± 10,76 → [73,74, 95,26]

Réponse

borne supérieure = 95,26

8.Intervalles de confiance

Réponse: σ = 1,991 µm

Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.

Somme des carrés

(n − 1)s² = 29·2,5² = 181,3

Bornes pour σ²

181,3/45,722 = 3,964

181,3/16,047 = 11,29

Borne pour σ

σ = √3,964 = 1,991 µm

Réponse

σ = 1,991 µm

Intervalle à 95 % pour σ : [1,991, 3,361] µm.

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −0,9

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statistique de test

t = (119,1 − 120)/1 = −0,9

Réponse

t = −0,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 385

Résoudre pour n

n = (1,96·20/2)² = 384,2

Arrondir vers le haut

n = 385

Réponse

n = 385

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9798

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 404/6 = 67,33

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 771,3

Coefficient de détermination

r² = 230²/(70·771,3) = 0,9798

Réponse

r² = 0,9798

Environ 97,98 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = −4,833

Moyennes

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 71/6 = 11,83

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 109

Droite de régression

b = 109/70 = 1,557

a = 11,83 − 1,557·7 = 0,9333

ŷ = 0,9333 + 1,557·x

Valeur prédite

ŷ = 0,9333 + 1,557·7 = 11,83

Résidu

e = 7 − 11,83 = −4,833

Réponse

e = −4,833

Le point se trouve en dessous de la droite.

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