Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 57, 59, 14, 38, 20, 16, 25.

n = 7

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 55,6 ?

μ = 70σ = 12x = 55,6

P =

3.ProbabilitésMoyen

De combien de façons N peut-on choisir un comité de 5 personnes parmi un groupe de 12 ? L'ordre ne compte pas.

n = 12k = 5

N =

4.ProbabilitésDifficile

On teste 6 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,4, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 6p = 0,4

P =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Quelle proportion se situe entre 62 et 83,5 points ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 62x₂ = 83,5

P =

6.Loi normaleDifficile

On suppose que les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart-type 40 h. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 75 % des valeurs (le 75e centile).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 10 éléments a une moyenne de 101 et un écart-type s = 2,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 10x̄ = 101s = 2,599%t(9) = 3,25

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 28. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 5 ?

σ = 28E = 595%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 49 étudiants a une note moyenne de 497,4 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,4s = 20n = 49

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 36 mesures a une moyenne de 75,4. L'écart-type de la population est 4. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

x̄ = 75,4σ = 4n = 3690%

U =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 5

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 4.

n = 6x = 4

ŷ =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 18,97

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 229/7 = 32,71

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 24,29² + 26,29² + (−18,71)² + 5,286² + (−12,71)² + (−16,71)² + (−7,714)² = 2159

Écart-type

s = √(2159/6) = 18,97

Réponse

s = 18,97

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,1151

Centrer-réduire

z = −1,2

Table de la loi normale

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Réponse

P = 0,1151

3.Probabilités

Réponse: N = 792

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaisons

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

Réponse

N = 792

4.Probabilités

Réponse: P = 0,2333

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Les additionner

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Réponse

P = 0,2333

5.Loi normale

Réponse: P = 0,5858

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3

z₂ = (83,5 − 65)/10 = 1,85

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(1,85) − Φ(−0,3) = 0,9678 − 0,3821 = 0,5858

Réponse

P = 0,5858

6.Loi normale

Réponse: x = 527 h

z du centile

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Retour à x

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Réponse

x = 526,98 h

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 103,6

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Marge d'erreur

E = 3,25·2,5/√10 = 2,569

Intervalle

101 ± 2,569 → [98,43, 103,6]

Réponse

borne supérieure = 103,6

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 121

Résoudre pour n

n = (1,96·28/5)² = 120,5

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 121

Réponse

n = 121

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −0,91

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Statistique de test

t = (497,4 − 500)/2,857 = −0,91

Réponse

t = −0,91

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 76,5

Marge d'erreur

E = 1,645·4/√36 = 1,097

Borne de l'intervalle

U = 75,4 + 1,097 = 76,5

Réponse

U = 76,5

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,8836

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 220/5 = 44

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 250

Coefficient de détermination

r² = 47²/(10·250) = 0,8836

Réponse

r² = 0,8836

Environ 88,36 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: ŷ = 61,11

Moyennes

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 510/6 = 85

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 418

Droite de régression

b = 418/70 = 5,971

a = 85 − 5,971·8 = 37,23

ŷ = 37,23 + 5,971·x

Prédiction

ŷ = 37,23 + 5,971·4 = 61,11

Réponse

ŷ = 61,11

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