Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 46, 14, 20, 32, 23, 22, 55.

n = 7

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 12. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 107,2 ?

μ = 100σ = 12x = 107,2

P =

3.ProbabilitésMoyen

De combien de façons N peut-on choisir un comité de 2 personnes parmi un groupe de 8 ? L'ordre ne compte pas.

n = 8k = 2

N =

4.ProbabilitésDifficile

On teste 5 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,3, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 5p = 0,3

P =

5.Loi normaleMoyen

Les masses de boulons sont indépendantes et normales, de moyenne 40 g et d’écart-type 1,2 g. Trouvez la probabilité P que la masse totale de 10 d’entre eux dépasse 403,8 g. Arrondissez z à deux décimales.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10> 403,8 g

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 75 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 100 pointsσ = 15 points75%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

On mesure la tension artérielle de 6 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 3,6 et un écart-type de 5,2. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour la différence moyenne.

n = 6d̄ = 3,6s_d = 5,295%t(5) = 2,571

E = mmHg

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 6 parcelles, rendement moyen 74,5 kg, écart-type 3,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 6 parcelles, moyenne 79,5 kg, écart-type 4 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 74,5s₁ = 3,5n₂ = 6x̄₂ = 79,5s₂ = 490%t(10) = 1,812

borne supérieure = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 16 étudiants a une note moyenne de 73,25 et un écart-type d'échantillon de 5. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,25s = 5n = 16

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 100 mesures a une moyenne de 102. L'écart-type de la population est 15. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

x̄ = 102σ = 15n = 10095%

L =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 5Σx = 30Σy = 130Σx² = 220Σy² = 3982Σxy = 934

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (6, 83). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(6, 83)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 15,02

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 212/7 = 30,29

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 15,71² + (−16,29)² + (−10,29)² + 1,714² + (−7,286)² + (−8,286)² + 24,71² = 1353

Écart-type

s = √(1353/6) = 15,02

Réponse

s = 15,02

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,2743

Centrer-réduire

z = 0,6

Table de la loi normale

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Réponse

P = 0,2743

3.Probabilités

Réponse: N = 28

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaisons

C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28

Réponse

N = 28

4.Probabilités

Réponse: P = 0,5282

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,7⁵ = 0,1681

P(X = 1) = 5·0,3·0,7⁴ = 0,3601

Les additionner

P = 0,1681 + 0,3601 = 0,5282

Réponse

P = 0,5282

5.Loi normale

Réponse: P = 0,1587

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², donc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi du total

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Centrer-réduire

z = (403,8 − 400)/3,795 = 1

Probabilités

P = 1 − Φ(1) = 0,1587

Réponse

P = 0,1587

6.Loi normale

Réponse: x = 110,1 points

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,75

z d’après la table

z ≈ 0,67

Retour aux unités d’origine

x = 100 + 0,67·15 = 110,1 points

Réponse

x = 110,1 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: E = 5,458 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valeur critique

df = 5, t = 2,571

Marge d'erreur

E = 2,571·5,2/√6 = 5,458

Réponse

E = 5,458 mmHg

8.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = −1,068 kg

Écart-type commun

s_p² = (5·3,5² + 5·4²)/10 = 14,13

s_p = 3,758

Marge d'erreur

E = 1,812·3,758·√(1/6 + 1/6) = 3,932

Intervalle

−5 ± 3,932 → [−8,932, −1,068]

Réponse

borne supérieure = −1,068 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −1,4

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Statistique de test

t = (73,25 − 75)/1,25 = −1,4

Réponse

t = −1,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: L = 99,06

Marge d'erreur

E = 1,96·15/√100 = 2,94

Borne de l'intervalle

L = 102 − 2,94 = 99,06

Réponse

L = 99,06

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9924

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 934 − 30·130/5 = 154

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3982 − 130²/5 = 602

Coefficient de corrélation

r = 154/√(40·602) = 0,9924

Réponse

r = 0,9924

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = 4,1

Moyennes

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 424/5 = 84,8

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

Droite de régression

b = 236/40 = 5,9

a = 84,8 − 5,9·7 = 43,5

ŷ = 43,5 + 5,9·x

Valeur prédite

ŷ = 43,5 + 5,9·6 = 78,9

Résidu

e = 83 − 78,9 = 4,1

Réponse

e = 4,1

Le point se trouve au-dessus de la droite.

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