Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 19, 28, 17, 21, 20, 32.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 75. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 545 ?

μ = 500σ = 75x = 545

P =

3.ProbabilitésMoyen

Un sac contient 3 boules rouges et 9 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?

3 / 9

P =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 5 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,6, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 3 bonnes réponses ?

n = 5p = 0,6k = 3

P =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Quelle proportion se situe entre 78,25 et 118,75 points ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 78,25x₂ = 118,75

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart type 5 g. Faites glisser le seuil pour que les 75 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 25 éléments a une moyenne de 39 et un écart-type s = 7. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

n = 25x̄ = 39s = 790%t(24) = 1,711

E =

8.Intervalles de confianceDifficile

Les diamètres de 11 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 3,5 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 10, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 3,247 et 2,5 % au-dessus de 20,483.

n = 11s = 3,5 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 25 étudiants a une note moyenne de 98,24 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,24s = 4n = 25

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 3 ? L'écart-type est 10. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 10E = 399%

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 5

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 5,845

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 137/6 = 22,83

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−3,833)² + 5,167² + (−5,833)² + (−1,833)² + (−2,833)² + 9,167² = 170,8

Écart-type

s = √(170,8/5) = 5,845

Réponse

s = 5,845

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,2743

Centrer-réduire

z = 0,6

Table de la loi normale

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Réponse

P = 0,2743

3.Probabilités

Réponse: P = 0,04545

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Premier et second tirage

P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0,04545

Réponse

P = 0,04545

4.Probabilités

Réponse: P = 0,3456

Formule binomiale

P(X = 3) = 10·0,6³·0,4² = 10·0,216·0,16 = 0,3456

Réponse

P = 0,3456

5.Loi normale

Réponse: P = 0,8208

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (78,25 − 100)/15 = −1,45

z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(1,25) − Φ(−1,45) = 0,8944 − 0,07353 = 0,8208

Réponse

P = 0,8208

6.Loi normale

Réponse: x = 246,7 g

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,25

z d’après la table

z ≈ −0,67

Retour aux unités d’origine

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Réponse

x = 246,7 g

7.Intervalles de confiance

Réponse: E = 2,395

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Marge d'erreur

E = 1,711·7/√25 = 2,395

Réponse

E = 2,395

8.Intervalles de confiance

Réponse: σ = 2,446 µm

Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.

Somme des carrés

(n − 1)s² = 10·3,5² = 122,5

Bornes pour σ²

122,5/20,483 = 5,981

122,5/3,247 = 37,73

Borne pour σ

σ = √5,981 = 2,446 µm

Réponse

σ = 2,446 µm

Intervalle à 95 % pour σ : [2,446, 6,142] µm.

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −2,2

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Statistique de test

t = (98,24 − 100)/0,8 = −2,2

Réponse

t = −2,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 74

Résoudre pour n

n = (2,576·10/3)² = 73,73

Arrondir vers le haut

n = 74

Réponse

n = 74

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,973

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 97/5 = 19,4

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 133,2

Coefficient de détermination

r² = −36²/(10·133,2) = 0,973

Réponse

r² = 0,973

Environ 97,3 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: ŷ = 21,24

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 112/6 = 18,67

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45

Droite de régression

b = −45/17,5 = −2,571

a = 18,67 − (−2,571)·3,5 = 27,67

ŷ = 27,67 − 2,571·x

Prédiction

ŷ = 27,67 + (−2,571)·2,5 = 21,24

Réponse

ŷ = 21,24

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1