Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 36, 32, 43, 29, 45, 23, 40.

n = 7

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 10. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 185 ?

μ = 170σ = 10x = 185

P =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = 10X + 4. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,1, 0,25, 0,25Y = 10X + 4

σ_Y =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,6923. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,6923

z =

6.Loi normaleDifficile

On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 25 % des valeurs (le 25e centile).

μ = 100σ = 15P = 25%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 11 éléments a une moyenne de 83 et un écart-type s = 13,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 11x̄ = 83s = 13,599%t(10) = 3,169

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 8 parcelles, rendement moyen 44 kg, écart-type 8,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 6 parcelles, moyenne 37,5 kg, écart-type 4,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 44s₁ = 8,5n₂ = 6x̄₂ = 37,5s₂ = 4,590%t(12) = 1,782

borne supérieure = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 194,8 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 194,8s = 10n = 36

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un test z unilatéral au seuil α = 0,05 doit détecter un décalage de la moyenne de 2,5 unités avec une puissance de 90 %. L’écart-type vaut 19. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.

α = 0,05puissance = 90%δ = 2,5σ = 19z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 6

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (3,5, 67). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 67)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 7,934

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 248/7 = 35,43

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 0,5714² + (−3,429)² + 7,571² + (−6,429)² + 9,571² + (−12,43)² + 4,571² = 377,7

Écart-type

s = √(377,7/6) = 7,934

Réponse

s = 7,934

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,9332

Centrer-réduire

z = 1,5

Table de la loi normale

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Réponse

P = 0,9332

3.Probabilités

Réponse: Var(X) = 0,6475

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Moyenne des carrés

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Variance

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Réponse

Var(X) = 0,6475

4.Probabilités

Réponse: σ_Y = 14,92

Dispersion de X

μ = 2,15, Var(X) = 2,228, σ_X = 1,492

Changement linéaire

σ_Y = |10|·1,492 = 14,92

Réponse

σ_Y = 14,92

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 10·2,15 + 4 = 25,5.

5.Loi normale

Réponse: z = 1,02

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = (1 + 0,6923)/2 = 0,8461

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,8461 dans la table et lisez z.

z = 1,02

Réponse

z = 1,02

6.Loi normale

Réponse: x = 89,88 points

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

z du centile

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Retour à x

x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 points

Réponse

x = 89,88 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 95,9

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Marge d'erreur

E = 3,169·13,5/√11 = 12,9

Intervalle

83 ± 12,9 → [70,1, 95,9]

Réponse

borne supérieure = 95,9

8.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 13,34 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Écart-type commun

s_p² = (7·8,5² + 5·4,5²)/12 = 50,58

s_p = 7,112

Marge d'erreur

E = 1,782·7,112·√(1/8 + 1/6) = 6,845

Intervalle

6,5 ± 6,845 → [−0,3447, 13,34]

Réponse

borne supérieure = 13,34 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −3,12

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Statistique de test

t = (194,8 − 200)/1,667 = −3,12

Réponse

t = −3,12

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 495

Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.

Résoudre pour n

n = ((1,645 + 1,282)·19/2,5)² = 494,8

Arrondir vers le haut

n = 495

Réponse

n = 495

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9545

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 94/6 = 15,67

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 73,33

Coefficient de détermination

r² = −35²/(17,5·73,33) = 0,9545

Réponse

r² = 0,9545

Environ 95,45 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = 3,4

Moyennes

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 327/5 = 65,4

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36

Droite de régression

b = 36/10 = 3,6

a = 65,4 − 3,6·4 = 51

ŷ = 51 + 3,6·x

Valeur prédite

ŷ = 51 + 3,6·3,5 = 63,6

Résidu

e = 67 − 63,6 = 3,4

Réponse

e = 3,4

Le point se trouve au-dessus de la droite.

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