Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 35, 42, 35, 25, 56, 51, 15.

n = 7

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 8. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 116 ?

μ = 100σ = 8x = 116

P =

3.ProbabilitésMoyen

Un sac contient 5 boules rouges et 9 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?

5 / 9

P =

4.ProbabilitésDifficile

On teste 6 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,25, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 6p = 0,25

P =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,1170. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,1170

z =

6.Loi normaleDifficile

Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 25 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 13 éléments a une moyenne de 36 et un écart-type s = 10. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 13x̄ = 36s = 1099%t(12) = 3,055

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 18. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1 ?

σ = 18E = 195%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 100 étudiants a une note moyenne de 72,52 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72,52s = 8n = 100

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un test z unilatéral au seuil α = 0,05 doit détecter un décalage de la moyenne de 5 unités avec une puissance de 90 %. L’écart-type vaut 11. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.

α = 0,05puissance = 90%δ = 5σ = 11z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 6

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (5,5, 72). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(5,5, 72)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 14,25

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 259/7 = 37

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−2)² + 5² + (−2)² + (−12)² + 19² + 14² + (−22)² = 1218

Écart-type

s = √(1218/6) = 14,25

Réponse

s = 14,25

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,9772

Centrer-réduire

z = 2

Table de la loi normale

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Réponse

P = 0,9772

3.Probabilités

Réponse: P = 0,1099

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Premier et second tirage

P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0,1099

Réponse

P = 0,1099

4.Probabilités

Réponse: P = 0,5339

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,75⁶ = 0,178

P(X = 1) = 6·0,25·0,75⁵ = 0,356

Les additionner

P = 0,178 + 0,356 = 0,5339

Réponse

P = 0,5339

5.Loi normale

Réponse: z = 1,19

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = 1 − 0,1170 = 0,8830

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,8830 dans la table et lisez z.

z = 1,19

Réponse

z = 1,19

6.Loi normale

Réponse: x = 473 h

Aire à gauche

Φ(z) = 0,25

z d’après la table

z ≈ −0,67

Retour aux unités d’origine

x = 500 − 0,67·40 = 473 h

Réponse

x = 473 h

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 44,47

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Marge d'erreur

E = 3,055·10/√13 = 8,473

Intervalle

36 ± 8,473 → [27,53, 44,47]

Réponse

borne supérieure = 44,47

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 1245

Résoudre pour n

n = (1,96·18/1)² = 1245

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 1245

Réponse

n = 1245

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −3,1

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Statistique de test

t = (72,52 − 75)/0,8 = −3,1

Réponse

t = −3,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 42

Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.

Résoudre pour n

n = ((1,645 + 1,282)·11/5)² = 41,47

Arrondir vers le haut

n = 42

Réponse

n = 42

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9295

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 117/6 = 19,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 53,5

Coefficient de détermination

r² = −29,5²/(17,5·53,5) = 0,9295

Réponse

r² = 0,9295

Environ 92,95 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = 4,85

Moyennes

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 323/5 = 64,6

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

Droite de régression

b = 51/10 = 5,1

a = 64,6 − 5,1·5 = 39,1

ŷ = 39,1 + 5,1·x

Valeur prédite

ŷ = 39,1 + 5,1·5,5 = 67,15

Résidu

e = 72 − 67,15 = 4,85

Réponse

e = 4,85

Le point se trouve au-dessus de la droite.

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