Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 35, 40, 41, 28, 35.

n = 5

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 158.

μ = 170σ = 15x = 158

z =

3.ProbabilitésMoyen

On lance un dé équilibré 8 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?

n = 8

P =

4.ProbabilitésDifficile

On teste 5 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,25, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 5p = 0,25

P =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,7881. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,7881

z =

6.Loi normaleDifficile

On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 80 % des valeurs (le 80e centile).

μ = 178σ = 7P = 80%

x = cm

7.Intervalles de confianceMoyen

Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 64 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 8,1. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 90 % obtenu avec les mêmes données ?

99%n₁ = 64E₁ = 8,190%

E₂ =

8.Intervalles de confianceDifficile

Les diamètres de 30 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 2,3 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 29, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 16,047 et 2,5 % au-dessus de 45,722.

n = 30s = 2,3 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 502,4 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 502,4s = 8n = 64

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 25 mesures a une moyenne de 201,9. L'écart-type de la population est 12. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

x̄ = 201,9σ = 12n = 2590%

L =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 5

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 37 ?

n = 6ŷ = 37

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 5,167

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 179/5 = 35,8

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−0,8)² + 4,2² + 5,2² + (−7,8)² + (−0,8)² = 106,8

Écart-type

s = √(106,8/4) = 5,167

Réponse

s = 5,167

2.Statistique descriptive

Réponse: z = −0,8

Centrer-réduire

z = (158 − 170)/15 = −0,8

Réponse

z = −0,8

3.Probabilités

Réponse: P = 0,7674

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complémentaire

P(aucun six) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Réponse

P = 0,7674

4.Probabilités

Réponse: P = 0,6328

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,75⁵ = 0,2373

P(X = 1) = 5·0,25·0,75⁴ = 0,3955

Les additionner

P = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328

Réponse

P = 0,6328

5.Loi normale

Réponse: z = −0,8

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,2119 dans la table et lisez z.

z = −0,80

Réponse

z = −0,80

6.Loi normale

Réponse: x = 183,9 cm

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

z du centile

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Retour à x

x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm

Réponse

x = 183,89 cm

7.Intervalles de confiance

Réponse: E₂ = 5,173

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapport des marges

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/64) = 0,6386

Nouvelle marge

E₂ = 8,1·0,6386 = 5,173

Réponse

E₂ = 5,173

8.Intervalles de confiance

Réponse: σ = 3,092 µm

Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.

Somme des carrés

(n − 1)s² = 29·2,3² = 153,4

Bornes pour σ²

153,4/45,722 = 3,355

153,4/16,047 = 9,56

Borne pour σ

σ = √9,56 = 3,092 µm

Réponse

σ = 3,092 µm

Intervalle à 95 % pour σ : [1,832, 3,092] µm.

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,4

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Statistique de test

t = (502,4 − 500)/1 = 2,4

Réponse

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: L = 198

Marge d'erreur

E = 1,645·12/√25 = 3,948

Borne de l'intervalle

L = 201,9 − 3,948 = 198

Réponse

L = 198

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9584

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 295/5 = 59

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 864

Coefficient de détermination

r² = 182²/(40·864) = 0,9584

Réponse

r² = 0,9584

Environ 95,84 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 8,203

Moyennes

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 195/6 = 32,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 143

Droite de régression

b = 143/70 = 2,043

a = 32,5 − 2,043·6 = 20,24

ŷ = 20,24 + 2,043·x

Résoudre pour x

x = (37 − 20,24)/2,043 = 8,203

Réponse

x = 8,203

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