Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 16, 32, 20, 11, 26.

n = 5

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Trouve le score z z d'une note de 107,5.

μ = 100σ = 5x = 107,5

z =

3.ProbabilitésMoyen

Un sac contient 3 boules rouges et 6 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?

3 / 6

P =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 12 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,7, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 1 bonnes réponses ?

n = 12p = 0,7k = 1

P =

5.Loi normaleMoyen

Les masses de passagers avec bagages sont indépendantes et normales, de moyenne 85 kg et d’écart-type 12 kg. Trouvez la probabilité P que la masse totale de 9 d’entre eux soit inférieure à 837 kg. Arrondissez z à deux décimales.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 837 kg

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 85 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 65 pointsσ = 10 points85%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 100 téléphones, moyenne 53,5 h, écart-type connu 10 h. Modèle 2 : 60 téléphones, moyenne 57,5 h, écart-type connu 14 h. Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 53,5 hσ₁ = 10 hn₂ = 60x̄₂ = 57,5 hσ₂ = 14 h95%

E = h

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 11 parcelles, rendement moyen 17,5 kg, écart-type 2 kg. Groupe de parcelles 2 : 15 parcelles, moyenne 6,5 kg, écart-type 4 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 17,5s₁ = 2n₂ = 15x̄₂ = 6,5s₂ = 490%t(24) = 1,711

borne inférieure = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 498 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498s = 10n = 81

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 199,4. L'écart-type de la population est 20. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

x̄ = 199,4σ = 20n = 4999%

U =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 6

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 96 ?

n = 6ŷ = 96

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 8,246

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 105/5 = 21

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−5)² + 11² + (−1)² + (−10)² + 5² = 272

Écart-type

s = √(272/4) = 8,246

Réponse

s = 8,246

2.Statistique descriptive

Réponse: z = 1,5

Centrer-réduire

z = (107,5 − 100)/5 = 1,5

Réponse

z = 1,5

3.Probabilités

Réponse: P = 0,08333

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Premier et second tirage

P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0,08333

Réponse

P = 0,08333

4.Probabilités

Réponse: P = 1,488 × 10⁻⁵

Formule binomiale

P(X = 1) = 12·0,7¹·0,3¹¹ = 12·0,7·1,771 × 10⁻⁶ = 1,488 × 10⁻⁵

Réponse

P = 1,488 × 10⁻⁵

5.Loi normale

Réponse: P = 0,9772

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², donc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi du total

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

Centrer-réduire

z = (837 − 765)/36 = 2

Probabilités

P = Φ(2) = 0,9772

Réponse

P = 0,9772

6.Loi normale

Réponse: x = 54,6 points

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,15

z d’après la table

z ≈ −1,04

Retour aux unités d’origine

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 points

Réponse

x = 54,6 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: E = 4,049 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimation ponctuelle

x̄₁ − x̄₂ = 53,5 − 57,5 = −4

Erreur type

SE = √(10²/100 + 14²/60) = 2,066

Marge d'erreur

E = 1,96·2,066 = 4,049

Réponse

E = 4,049 h

L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.

8.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 8,747 kg

Écart-type commun

s_p² = (10·2² + 14·4²)/24 = 11

s_p = 3,317

Marge d'erreur

E = 1,711·3,317·√(1/11 + 1/15) = 2,253

Intervalle

11 ± 2,253 → [8,747, 13,25]

Réponse

borne inférieure = 8,747 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −1,8

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Statistique de test

t = (498 − 500)/1,111 = −1,8

Réponse

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 206,8

Marge d'erreur

E = 2,576·20/√49 = 7,36

Borne de l'intervalle

U = 199,4 + 7,36 = 206,8

Réponse

U = 206,8

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,8779

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 150/6 = 25

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 44

Coefficient de détermination

r² = −26²/(17,5·44) = 0,8779

Réponse

r² = 0,8779

Environ 87,79 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 11,05

Moyennes

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 457/6 = 76,17

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 343

Droite de régression

b = 343/70 = 4,9

a = 76,17 − 4,9·7 = 41,87

ŷ = 41,87 + 4,9·x

Résoudre pour x

x = (96 − 41,87)/4,9 = 11,05

Réponse

x = 11,05

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