Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 34, 18, 50, 10, 56, 25, 28.

n = 7

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 15. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 90 ?

μ = 60σ = 15x = 90

P =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,05, 0,2, 0,25, 0,35

σ =

4.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = 0,5X + 1. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 0,5X + 1

σ_Y =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Quelle proportion se situe entre 45,5 et 77,5 points ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 45,5x₂ = 77,5

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 75 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 500 hσ = 40 h75%

x = h

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 8 éléments a une moyenne de 64,5 et un écart-type s = 19. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 8x̄ = 64,5s = 1999%t(7) = 3,499

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

Les diamètres de 11 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 6,8 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 10, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 3,247 et 2,5 % au-dessus de 20,483.

n = 11s = 6,8 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

6 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut −0,8 et l’écart-type des différences 1,4. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μ_d = 0.

n = 6d̄ = −0,8s_d = 1,4

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 3 ? L'écart-type est 5. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 5E = 395%

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 5

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 89 ?

n = 5ŷ = 89

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 16,57

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 221/7 = 31,57

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 2,429² + (−13,57)² + 18,43² + (−21,57)² + 24,43² + (−6,571)² + (−3,571)² = 1648

Écart-type

s = √(1648/6) = 16,57

Réponse

s = 16,57

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,9772

Centrer-réduire

z = 2

Table de la loi normale

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Réponse

P = 0,9772

3.Probabilités

Réponse: σ = 1,393

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 1·0,15 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,25 + 5·0,35 = 3,6

Moyenne des carrés

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,25 + 25·0,35 = 14,9

Variance

Var(X) = 14,9 − 3,6² = 1,94

σ = √1,94 = 1,393

Réponse

σ = 1,393

4.Probabilités

Réponse: σ_Y = 0,4183

Dispersion de X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Changement linéaire

σ_Y = |0,5|·0,8367 = 0,4183

Réponse

σ_Y = 0,4183

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 0,5·1 + 1 = 1,5.

5.Loi normale

Réponse: P = 0,8688

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (45,5 − 65)/10 = −1,95

z₂ = (77,5 − 65)/10 = 1,25

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(1,25) − Φ(−1,95) = 0,8944 − 0,02559 = 0,8688

Réponse

P = 0,8688

6.Loi normale

Réponse: x = 527 h

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,75

z d’après la table

z ≈ 0,67

Retour aux unités d’origine

x = 500 + 0,67·40 = 527 h

Réponse

x = 527 h

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 88

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Marge d'erreur

E = 3,499·19/√8 = 23,5

Intervalle

64,5 ± 23,5 → [41, 88]

Réponse

borne supérieure = 88

8.Intervalles de confiance

Réponse: σ = 11,93 µm

Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.

Somme des carrés

(n − 1)s² = 10·6,8² = 462,4

Bornes pour σ²

462,4/20,483 = 22,57

462,4/3,247 = 142,4

Borne pour σ

σ = √142,4 = 11,93 µm

Réponse

σ = 11,93 µm

Intervalle à 95 % pour σ : [4,751, 11,93] µm.

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −1,4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erreur type de la différence moyenne

SE = 1,4/√6 = 0,5715

Statistique de test

t = −0,8/0,5715 = −1,4

Réponse

t = −1,4

Avec df = 5, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,571 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 11

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Résoudre pour n

n = (1,96·5/3)² = 10,67

Arrondir vers le haut

n = 11

Réponse

n = 11

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9508

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 234/5 = 46,8

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 176,8

Coefficient de détermination

r² = 82²/(40·176,8) = 0,9508

Réponse

r² = 0,9508

Environ 95,08 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 21,95

Moyennes

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 423/5 = 84,6

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186

Droite de régression

b = 186/40 = 4,65

a = 84,6 − 4,65·21 = −13,05

ŷ = −13,05 + 4,65·x

Résoudre pour x

x = (89 − (−13,05))/4,65 = 21,95

Réponse

x = 21,95

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