Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 59, 59, 21, 25, 25.

n = 5

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 60 et d'écart-type 8. Trouve le score z z d'une note de 63,2.

μ = 60σ = 8x = 63,2

z =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,35

σ =

4.ProbabilitésDifficile

Un jeu coûte 1 € pour jouer. Vous gagnez 2 € avec la probabilité 0,1 et 20 € avec la probabilité 0,05 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.

mise = €1€2: p = 0,1€20: p = 0,05

E(G) = €

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,9651. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,9651

z =

6.Loi normaleDifficile

Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 95 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

7.Intervalles de confianceMoyen

On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 80 téléphones, moyenne 150 h, écart-type connu 4 h. Modèle 2 : 80 téléphones, moyenne 157,5 h, écart-type connu 16 h. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 150 hσ₁ = 4 hn₂ = 80x̄₂ = 157,5 hσ₂ = 16 h90%

borne inférieure = h

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 13. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 0,5 ?

σ = 13E = 0,590%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

15 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 5,02 et l’écart-type des différences 7,2. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μ_d = 0.

n = 15d̄ = 5,02s_d = 7,2

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Dans un essai, 28 patients sur 80 sous traitement A guérissent, et 80 sur 200 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.

x₁ = 28n₁ = 80x₂ = 80n₂ = 200

z =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 6Σx = 33Σy = 409Σx² = 199Σy² = 28483Σxy = 2346

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (18, 96). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(18, 96)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 19,42

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 189/5 = 37,8

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 21,2² + 21,2² + (−16,8)² + (−12,8)² + (−12,8)² = 1509

Écart-type

s = √(1509/4) = 19,42

Réponse

s = 19,42

2.Statistique descriptive

Réponse: z = 0,4

Centrer-réduire

z = (63,2 − 60)/8 = 0,4

Réponse

z = 0,4

3.Probabilités

Réponse: σ = 1,03

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,35 = 2,8

Moyenne des carrés

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,35 = 8,9

Variance

Var(X) = 8,9 − 2,8² = 1,06

σ = √1,06 = 1,03

Réponse

σ = 1,03

4.Probabilités

Réponse: E(G) = 0,2 €

Résultats nets

G: 1 (p = 0,1), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,85)

Espérance

E(G) = 1·0,1 + 19·0,05 − 1·0,85 = 0,2 €

Réponse

E(G) = 0,2 €

Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.

5.Loi normale

Réponse: z = 2,11

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = (1 + 0,9651)/2 = 0,9826

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,9826 dans la table et lisez z.

z = 2,11

Réponse

z = 2,11

6.Loi normale

Réponse: x = 434 h

Aire à gauche

Φ(z) = 0,05

z d’après la table

z ≈ −1,64

Retour aux unités d’origine

x = 500 − 1,64·40 = 434 h

Réponse

x = 434 h

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = −10,53 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimation ponctuelle

x̄₁ − x̄₂ = 150 − 157,5 = −7,5

Erreur type

SE = √(4²/80 + 16²/80) = 1,844

Marge d'erreur

E = 1,645·1,844 = 3,033

Intervalle

−7,5 ± 3,033 → [−10,53, −4,467]

Réponse

borne inférieure = −10,53 h

L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 1830

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Résoudre pour n

n = (1,645·13/0,5)² = 1829

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 1830

Réponse

n = 1830

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,7

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erreur type de la différence moyenne

SE = 7,2/√15 = 1,859

Statistique de test

t = 5,02/1,859 = 2,7

Réponse

t = 2,7

Avec df = 14, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,145 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: z = −0,7765

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proportions des échantillons

p̂₁ = 28/80 = 0,35

p̂₂ = 80/200 = 0,4

p̂ = 108/280 = 0,3857

Erreur type sous H₀

SE = √(0,3857·0,6143·(1/80 + 1/200)) = 0,06439

Statistique de test

z = (0,35 − 0,4)/0,06439 = −0,7765

Réponse

z = −0,7765

|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9395

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 2346 − 33·409/6 = 96,5

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 28483 − 409²/6 = 602,8

Coefficient de corrélation

r = 96,5/√(17,5·602,8) = 0,9395

Réponse

r = 0,9395

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = −5,45

Moyennes

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 580/5 = 116

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194

Droite de régression

b = 194/40 = 4,85

a = 116 − 4,85·21 = 14,15

ŷ = 14,15 + 4,85·x

Valeur prédite

ŷ = 14,15 + 4,85·18 = 101,5

Résidu

e = 96 − 101,5 = −5,45

Réponse

e = −5,45

Le point se trouve en dessous de la droite.

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