Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 21, 58, 21, 57, 14, 17.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 12. Trouve le score z z d'une note de 174,8.

μ = 170σ = 12x = 174,8

z =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,35

σ =

4.ProbabilitésDifficile

Un jeu coûte 10 € pour jouer. Vous gagnez 40 € avec la probabilité 0,1 et 500 € avec la probabilité 0,05 ; sinon vous ne gagnez rien. La mise n’est pas remboursée. Trouvez le gain net espéré E(G) par partie.

mise = €10€40: p = 0,1€500: p = 0,05

E(G) = €

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Quelle proportion se situe entre 95,5 et 122,5 points ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 95,5x₂ = 122,5

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 40 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 100 pointsσ = 15 points40%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 8 éléments a une moyenne de 49,5 et un écart-type s = 6. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 8x̄ = 49,5s = 699%t(7) = 3,499

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 26. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 4 ?

σ = 26E = 499%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Deux lignes de production fabriquent la même pièce. Ligne 1 : un échantillon de 30 pièces a une longueur moyenne de 41 mm, et l’écart-type connu de la ligne vaut 7 mm. Ligne 2 : un échantillon de 60 pièces a une moyenne de 42,2 mm, écart-type connu 4 mm. Trouvez la statistique de test z pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (ligne 1 moins ligne 2).

n₁ = 30x̄₁ = 41 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 60x̄₂ = 42,2 mmσ₂ = 4 mm

z =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un test z unilatéral de H₀ : μ = 100 contre H₁ : μ > 100 est réalisé au seuil α = 0,10 avec un échantillon de 100 ; l’écart-type est connu et vaut 10. En réalité, la moyenne vaut 101,3. Trouvez la probabilité d’une erreur de deuxième espèce β en pourcentage.

μ₀ = 100μ = 101,3σ = 10n = 100α = 0,10

β = %

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.

n = 5

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (4,5, 12). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 12)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 20,44

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 188/6 = 31,33

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−10,33)² + 26,67² + (−10,33)² + 25,67² + (−17,33)² + (−14,33)² = 2089

Écart-type

s = √(2089/5) = 20,44

Réponse

s = 20,44

2.Statistique descriptive

Réponse: z = 0,4

Centrer-réduire

z = (174,8 − 170)/12 = 0,4

Réponse

z = 0,4

3.Probabilités

Réponse: σ = 10,3

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 10·0,1 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,35 = 28

Moyenne des carrés

E(X²) = 100·0,1 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,35 = 890

Variance

Var(X) = 890 − 28² = 106

σ = √106 = 10,3

Réponse

σ = 10,3

4.Probabilités

Réponse: E(G) = 19 €

Résultats nets

G: 30 (p = 0,1), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,85)

Espérance

E(G) = 30·0,1 + 490·0,05 − 10·0,85 = 19 €

Réponse

E(G) = 19 €

Une valeur positive signifie que vous gagnez de l’argent en moyenne.

5.Loi normale

Réponse: P = 0,5511

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (95,5 − 100)/15 = −0,3

z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(1,5) − Φ(−0,3) = 0,9332 − 0,3821 = 0,5511

Réponse

P = 0,5511

6.Loi normale

Réponse: x = 96,3 points

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,4

z d’après la table

z ≈ −0,25

Retour aux unités d’origine

x = 100 − 0,25·15 = 96,3 points

Réponse

x = 96,3 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 56,92

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Marge d'erreur

E = 3,499·6/√8 = 7,422

Intervalle

49,5 ± 7,422 → [42,08, 56,92]

Réponse

borne supérieure = 56,92

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 281

Résoudre pour n

n = (2,576·26/4)² = 280,4

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 281

Réponse

n = 281

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: z = −0,8706

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Erreur type de la différence

SE = √(7²/30 + 4²/60) = √1,9 = 1,378

Statistique de test

z = (41 − 42,2)/1,378 = −0,8706

Réponse

z = −0,8706

|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: β = 49,28 %

Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Moyenne d’échantillon critique

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 100 + 1,282·1 = 101,3

z avec la vraie moyenne

z = (101,3 − 101,3)/1 = −0,018

Erreur de deuxième espèce

puissance = P(Z > −0,018) = 50,72%

β = 100% − 50,72% = 49,28%

Réponse

β = 49,28%

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9848

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 66/5 = 13,2

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 92,8

Coefficient de corrélation

r = 60/√(40·92,8) = 0,9848

Réponse

r = 0,9848

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = −3,214

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 111/6 = 18,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −57,5

Droite de régression

b = −57,5/17,5 = −3,286

a = 18,5 − (−3,286)·3,5 = 30

ŷ = 30 − 3,286·x

Valeur prédite

ŷ = 30 + (−3,286)·4,5 = 15,21

Résidu

e = 12 − 15,21 = −3,214

Réponse

e = −3,214

Le point se trouve en dessous de la droite.

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