Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 50, 11, 49, 18, 32, 25.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 25. Trouve le score z z d'une note de 510.

μ = 500σ = 25x = 510

z =

3.ProbabilitésMoyen

On lance un dé équilibré 5 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?

n = 5

P =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 5 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,1, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 3 bonnes réponses ?

n = 5p = 0,1k = 3

P =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Quelle proportion se situe entre 93,25 et 103 points ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 93,25x₂ = 103

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 5 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 65 pointsσ = 10 points5%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 20 éléments a une moyenne de 38 et un écart-type s = 16,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

n = 20x̄ = 38s = 16,595%t(19) = 2,093

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

Les diamètres de 25 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 3,4 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne inférieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 24, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 12,401 et 2,5 % au-dessus de 39,364.

n = 25s = 3,4 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 100 étudiants a une note moyenne de 120,6 et un écart-type d'échantillon de 8. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 120,6s = 8n = 100

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 16 mesures a une moyenne de 78,5. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

x̄ = 78,5σ = 10n = 1695%

L =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 6

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 111 ?

n = 6ŷ = 111

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 16,07

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 185/6 = 30,83

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 19,17² + (−19,83)² + 18,17² + (−12,83)² + 1,167² + (−5,833)² = 1291

Écart-type

s = √(1291/5) = 16,07

Réponse

s = 16,07

2.Statistique descriptive

Réponse: z = 0,4

Centrer-réduire

z = (510 − 500)/25 = 0,4

Réponse

z = 0,4

3.Probabilités

Réponse: P = 0,5981

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complémentaire

P(aucun six) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Réponse

P = 0,5981

4.Probabilités

Réponse: P = 0,0081

Formule binomiale

P(X = 3) = 10·0,1³·0,9² = 10·0,001·0,81 = 0,0081

Réponse

P = 0,0081

5.Loi normale

Réponse: P = 0,2529

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (93,25 − 100)/15 = −0,45

z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(0,2) − Φ(−0,45) = 0,5793 − 0,3264 = 0,2529

Réponse

P = 0,2529

6.Loi normale

Réponse: x = 81,4 points

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,95

z d’après la table

z ≈ 1,64

Retour aux unités d’origine

x = 65 + 1,64·10 = 81,4 points

Réponse

x = 81,4 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 45,72

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Marge d'erreur

E = 2,093·16,5/√20 = 7,722

Intervalle

38 ± 7,722 → [30,28, 45,72]

Réponse

borne supérieure = 45,72

8.Intervalles de confiance

Réponse: σ = 2,655 µm

Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.

Somme des carrés

(n − 1)s² = 24·3,4² = 277,4

Bornes pour σ²

277,4/39,364 = 7,048

277,4/12,401 = 22,37

Borne pour σ

σ = √7,048 = 2,655 µm

Réponse

σ = 2,655 µm

Intervalle à 95 % pour σ : [2,655, 4,73] µm.

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 0,75

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Statistique de test

t = (120,6 − 120)/0,8 = 0,75

Réponse

t = 0,75

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: L = 73,6

Marge d'erreur

E = 1,96·10/√16 = 4,9

Borne de l'intervalle

L = 78,5 − 4,9 = 73,6

Réponse

L = 73,6

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9983

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 130/6 = 21,67

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 655,3

Coefficient de détermination

r² = 214²/(70·655,3) = 0,9983

Réponse

r² = 0,9983

Environ 99,83 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 28,6

Moyennes

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 582/6 = 97

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 711

Droite de régression

b = 711/157,5 = 4,514

a = 97 − 4,514·25,5 = −18,11

ŷ = −18,11 + 4,514·x

Résoudre pour x

x = (111 − (−18,11))/4,514 = 28,6

Réponse

x = 28,6

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