Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 26, 26, 17, 48, 35, 43.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 50. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 600 ?

μ = 500σ = 50x = 600

P =

3.ProbabilitésMoyen

De combien de façons N peut-on choisir un comité de 2 personnes parmi un groupe de 13 ? L'ordre ne compte pas.

n = 13k = 2

N =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 6 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 1 bonnes réponses ?

n = 6p = 0,2k = 1

P =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,9678. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,9678

z =

6.Loi normaleDifficile

Les les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart type 5 g. Faites glisser le seuil pour que les 10 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 20 éléments a une moyenne de 41 et un écart-type s = 7,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

n = 20x̄ = 41s = 7,595%t(19) = 2,093

borne inférieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 19. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 4 ?

σ = 19E = 495%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 104,5 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 104,5s = 15n = 64

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 36 mesures a une moyenne de 197. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne inférieure L de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

x̄ = 197σ = 10n = 3690%

L =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.

n = 5

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 25,5.

n = 5x = 25,5

ŷ =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 11,67

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 195/6 = 32,5

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−6,5)² + (−6,5)² + (−15,5)² + 15,5² + 2,5² + 10,5² = 681,5

Écart-type

s = √(681,5/5) = 11,67

Réponse

s = 11,67

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,02275

Centrer-réduire

z = 2

Table de la loi normale

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Réponse

P = 0,02275

3.Probabilités

Réponse: N = 78

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaisons

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Réponse

N = 78

4.Probabilités

Réponse: P = 0,3932

Formule binomiale

P(X = 1) = 6·0,2¹·0,8⁵ = 6·0,2·0,3277 = 0,3932

Réponse

P = 0,3932

5.Loi normale

Réponse: z = −1,85

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = 1 − 0,9678 = 0,0322

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,0322 dans la table et lisez z.

z = −1,85

Réponse

z = −1,85

6.Loi normale

Réponse: x = 256,4 g

Aire à gauche

Φ(z) = 0,9

z d’après la table

z ≈ 1,28

Retour aux unités d’origine

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Réponse

x = 256,4 g

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 37,49

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Marge d'erreur

E = 2,093·7,5/√20 = 3,51

Intervalle

41 ± 3,51 → [37,49, 44,51]

Réponse

borne inférieure = 37,49

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 87

Résoudre pour n

n = (1,96·19/4)² = 86,68

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 87

Réponse

n = 87

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,4

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Statistique de test

t = (104,5 − 100)/1,875 = 2,4

Réponse

t = 2,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: L = 194,3

Marge d'erreur

E = 1,645·10/√36 = 2,742

Borne de l'intervalle

L = 197 − 2,742 = 194,3

Réponse

L = 194,3

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9627

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 345/5 = 69

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 442

Coefficient de corrélation

r = 64/√(10·442) = 0,9627

Réponse

r = 0,9627

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: ŷ = 103,9

Moyennes

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 485/5 = 97

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 417

Droite de régression

b = 417/90 = 4,633

a = 97 − 4,633·24 = −14,2

ŷ = −14,2 + 4,633·x

Prédiction

ŷ = −14,2 + 4,633·25,5 = 103,9

Réponse

ŷ = 103,9

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