Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 13, 23, 27, 21, 40, 19.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 79.

μ = 70σ = 15x = 79

z =

3.ProbabilitésMoyen

Un sac contient 7 boules rouges et 5 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?

7 / 5

P =

4.ProbabilitésDifficile

On teste 9 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 9p = 0,2

P =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 22,4 et 33,5 min ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 22,4x₂ = 33,5

P =

6.Loi normaleDifficile

Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,04 mm et d’écart-type 0,015 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,02 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.

alésage: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 6 éléments a une moyenne de 71 et un écart-type s = 2,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 6x̄ = 71s = 2,599%t(5) = 4,032

borne inférieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 30. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2,5 ?

σ = 30E = 2,599%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 7 étudiants, note moyenne 115, écart-type 11,5. Groupe 2 : 7 étudiants, note moyenne 105,8, écart-type 5,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).

n₁ = 7x̄₁ = 115s₁ = 11,5n₂ = 7x̄₂ = 105,8s₂ = 5,5

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Dans un essai, 75 patients sur 150 sous traitement A guérissent, et 114 sur 200 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 150x₂ = 114n₂ = 200

z =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 6Σx = 42Σy = 140Σx² = 364Σy² = 3812Σxy = 1174

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (25, 112). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 6(25, 112)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 9,174

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 143/6 = 23,83

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−10,83)² + (−0,8333)² + 3,167² + (−2,833)² + 16,17² + (−4,833)² = 420,8

Écart-type

s = √(420,8/5) = 9,174

Réponse

s = 9,174

2.Statistique descriptive

Réponse: z = 0,6

Centrer-réduire

z = (79 − 70)/15 = 0,6

Réponse

z = 0,6

3.Probabilités

Réponse: P = 0,3182

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Premier et second tirage

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

Réponse

P = 0,3182

4.Probabilités

Réponse: P = 0,4362

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,8⁹ = 0,1342

P(X = 1) = 9·0,2·0,8⁸ = 0,302

Les additionner

P = 0,1342 + 0,302 = 0,4362

Réponse

P = 0,4362

5.Loi normale

Réponse: P = 0,5439

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (22,4 − 32)/6 = −1,6

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(0,25) − Φ(−1,6) = 0,5987 − 0,0548 = 0,5439

Réponse

P = 0,5439

6.Loi normale

Réponse: P = 0,9452

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², donc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi de la différence

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Centrer-réduire

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Probabilités

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Réponse

P = 0,9452

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 66,88

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Marge d'erreur

E = 4,032·2,5/√6 = 4,115

Intervalle

71 ± 4,115 → [66,88, 75,12]

Réponse

borne inférieure = 66,88

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 956

Résoudre pour n

n = (2,576·30/2,5)² = 955,6

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 956

Réponse

n = 956

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 1,909

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variance commune

s_p² = (6·11,5² + 6·5,5²)/12 = 81,25

s_p = 9,014

Erreur type

SE = 9,014·√(1/7 + 1/7) = 4,818

Statistique de test

t = (115 − 105,8)/4,818 = 1,909

Réponse

t = 1,909

Avec df = 12, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,179 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: z = −1,3

Proportions des échantillons

p̂₁ = 75/150 = 0,5

p̂₂ = 114/200 = 0,57

p̂ = 189/350 = 0,54

Erreur type sous H₀

SE = √(0,54·0,46·(1/150 + 1/200)) = 0,05383

Statistique de test

z = (0,5 − 0,57)/0,05383 = −1,3

Réponse

z = −1,3

|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9929

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 1174 − 42·140/6 = 194

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 3812 − 140²/6 = 545,3

Coefficient de corrélation

r = 194/√(70·545,3) = 0,9929

Réponse

r = 0,9929

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = −5,443

Moyennes

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 561/6 = 93,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 419

Droite de régression

b = 419/70 = 5,986

a = 93,5 − 5,986·21 = −32,2

ŷ = −32,2 + 5,986·x

Valeur prédite

ŷ = −32,2 + 5,986·25 = 117,4

Résidu

e = 112 − 117,4 = −5,443

Réponse

e = −5,443

Le point se trouve en dessous de la droite.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1