Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 36, 41, 22, 57, 26, 31, 52.

n = 7

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 146 ?

μ = 170σ = 20x = 146

P =

3.ProbabilitésMoyen

De combien de façons N peut-on choisir un comité de 5 personnes parmi un groupe de 9 ? L'ordre ne compte pas.

n = 9k = 5

N =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 9 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 2 bonnes réponses ?

n = 9p = 0,2k = 2

P =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,9834. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,9834

z =

6.Loi normaleDifficile

Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 15 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 100 pointsσ = 15 points15%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 9 éléments a une moyenne de 46,5 et un écart-type s = 14,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 9x̄ = 46,5s = 14,599%t(8) = 3,355

borne inférieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 22. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?

σ = 22E = 390%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

13 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 3,49 et l’écart-type des différences 4,5. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μ_d = 0.

n = 13d̄ = 3,49s_d = 4,5

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un test z unilatéral au seuil α = 0,05 doit détecter un décalage de la moyenne de 2 unités avec une puissance de 95 %. L’écart-type vaut 5. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.

α = 0,05puissance = 95%δ = 2σ = 5z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 6

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 13 ?

n = 5ŷ = 13

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 13,03

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 265/7 = 37,86

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−1,857)² + 3,143² + (−15,86)² + 19,14² + (−11,86)² + (−6,857)² + 14,14² = 1019

Écart-type

s = √(1019/6) = 13,03

Réponse

s = 13,03

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,1151

Centrer-réduire

z = −1,2

Table de la loi normale

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Réponse

P = 0,1151

3.Probabilités

Réponse: N = 126

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaisons

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

Réponse

N = 126

4.Probabilités

Réponse: P = 0,302

Formule binomiale

P(X = 2) = 36·0,2²·0,8⁷ = 36·0,04·0,2097 = 0,302

Réponse

P = 0,302

5.Loi normale

Réponse: z = −2,13

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = 1 − 0,9834 = 0,0166

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,0166 dans la table et lisez z.

z = −2,13

Réponse

z = −2,13

6.Loi normale

Réponse: x = 115,6 points

Aire à gauche

Φ(z) = 0,85

z d’après la table

z ≈ 1,04

Retour aux unités d’origine

x = 100 + 1,04·15 = 115,6 points

Réponse

x = 115,6 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 30,28

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Marge d'erreur

E = 3,355·14,5/√9 = 16,22

Intervalle

46,5 ± 16,22 → [30,28, 62,72]

Réponse

borne inférieure = 30,28

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 146

Résoudre pour n

n = (1,645·22/3)² = 145,5

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 146

Réponse

n = 146

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,796

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Erreur type de la différence moyenne

SE = 4,5/√13 = 1,248

Statistique de test

t = 3,49/1,248 = 2,796

Réponse

t = 2,796

Avec df = 12, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,179 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 68

Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.

Résoudre pour n

n = ((1,645 + 1,645)·5/2)² = 67,65

Arrondir vers le haut

n = 68

Réponse

n = 68

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9766

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 327/6 = 54,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 532,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1844

Coefficient de détermination

r² = 532,5²/(157,5·1844) = 0,9766

Réponse

r² = 0,9766

Environ 97,66 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 5,2

Moyennes

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 74/5 = 14,8

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

Droite de régression

b = 90/40 = 2,25

a = 14,8 − 2,25·6 = 1,3

ŷ = 1,3 + 2,25·x

Résoudre pour x

x = (13 − 1,3)/2,25 = 5,2

Réponse

x = 5,2

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