Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 10, 57, 47, 33, 52, 29, 42.

n = 7

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 8. Trouve le score z z d'une note de 160,4.

μ = 170σ = 8x = 160,4

z =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,35, 0,2, 0,25

Var(X) =

4.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = 3X + 20. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,2, 0,1Y = 3X + 20

σ_Y =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Quelle proportion se situe entre 169,6 et 192 cm ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 192

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 70 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 65 pointsσ = 10 points70%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 12 éléments a une moyenne de 78 et un écart-type s = 4. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

n = 12x̄ = 78s = 490%t(11) = 1,796

E =

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 7 parcelles, rendement moyen 20 kg, écart-type 1,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 14 parcelles, moyenne 9 kg, écart-type 8 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 20s₁ = 1,5n₂ = 14x̄₂ = 9s₂ = 895%t(19) = 2,093

borne inférieure = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 103,2 et un écart-type d'échantillon de 12. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,2s = 12n = 81

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1,5 ? L'écart-type est 8. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 8E = 1,595%

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 5

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 68 ?

n = 5ŷ = 68

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 16,03

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 270/7 = 38,57

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−28,57)² + 18,43² + 8,429² + (−5,571)² + 13,43² + (−9,571)² + 3,429² = 1542

Écart-type

s = √(1542/6) = 16,03

Réponse

s = 16,03

2.Statistique descriptive

Réponse: z = −1,2

Centrer-réduire

z = (160,4 − 170)/8 = −1,2

Réponse

z = −1,2

3.Probabilités

Réponse: Var(X) = 115

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 10·0,2 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,25 = 25

Moyenne des carrés

E(X²) = 100·0,2 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,25 = 740

Variance

Var(X) = 740 − 25² = 115

Réponse

Var(X) = 115

4.Probabilités

Réponse: σ_Y = 4,056

Dispersion de X

μ = 1,65, Var(X) = 1,828, σ_X = 1,352

Changement linéaire

σ_Y = |3|·1,352 = 4,056

Réponse

σ_Y = 4,056

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 3·1,65 + 20 = 24,95.

5.Loi normale

Réponse: P = 0,8622

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(2) − Φ(−1,2) = 0,9772 − 0,1151 = 0,8622

Réponse

P = 0,8622

6.Loi normale

Réponse: x = 70,2 points

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,7

z d’après la table

z ≈ 0,52

Retour aux unités d’origine

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 points

Réponse

x = 70,2 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: E = 2,074

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Marge d'erreur

E = 1,796·4/√12 = 2,074

Réponse

E = 2,074

8.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 4,537 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Écart-type commun

s_p² = (6·1,5² + 13·8²)/19 = 44,5

s_p = 6,671

Marge d'erreur

E = 2,093·6,671·√(1/7 + 1/14) = 6,463

Intervalle

11 ± 6,463 → [4,537, 17,46]

Réponse

borne inférieure = 4,537 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,4

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Statistique de test

t = (103,2 − 100)/1,333 = 2,4

Réponse

t = 2,4

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 110

Résoudre pour n

n = (1,96·8/1,5)² = 109,3

Arrondir vers le haut

n = 110

Réponse

n = 110

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9384

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 297/5 = 59,4

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 537,2

Coefficient de détermination

r² = 71²/(10·537,2) = 0,9384

Réponse

r² = 0,9384

Environ 93,84 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 8,022

Moyennes

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 317/5 = 63,4

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

Droite de régression

b = 180/40 = 4,5

a = 63,4 − 4,5·7 = 31,9

ŷ = 31,9 + 4,5·x

Résoudre pour x

x = (68 − 31,9)/4,5 = 8,022

Réponse

x = 8,022

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