Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 23, 29, 16, 41, 47.

n = 5

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 56,25 ?

μ = 50σ = 5x = 56,25

P =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez l’écart-type σ de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,25, 0,2

σ =

4.ProbabilitésDifficile

On teste 6 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,6, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 6p = 0,6

P =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Quelle proportion se situe entre 60,5 et 67 points ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 60,5x₂ = 67

P =

6.Loi normaleDifficile

Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,03 mm et d’écart-type 0,02 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,015 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.

alésage: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Intervalles de confianceMoyen

Un intervalle de confiance à 90 % pour une moyenne, fondé sur 36 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 4,1. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 95 % obtenu avec les mêmes données ?

90%n₁ = 36E₁ = 4,195%

E₂ =

8.Intervalles de confianceDifficile

Une étude pilote suggère qu’environ 0,6 des produits sont défectueux. Combien de produits n faut-il contrôler pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la proportion ait une marge d’erreur d’au plus 0,03 ?

p ≈ 0,6E = 0,0395%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 73,45 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,45s = 4n = 64

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 90 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1 ? L'écart-type est 4. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 4E = 190%

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 6

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 21 ?

n = 6ŷ = 21

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 12,74

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 156/5 = 31,2

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−8,2)² + (−2,2)² + (−15,2)² + 9,8² + 15,8² = 648,8

Écart-type

s = √(648,8/4) = 12,74

Réponse

s = 12,74

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,8944

Centrer-réduire

z = 1,25

Table de la loi normale

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Réponse

P = 0,8944

3.Probabilités

Réponse: σ = 2,216

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 0·0,3 + 2·0,25 + 4·0,25 + 6·0,2 = 2,7

Moyenne des carrés

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,25 + 16·0,25 + 36·0,2 = 12,2

Variance

Var(X) = 12,2 − 2,7² = 4,91

σ = √4,91 = 2,216

Réponse

σ = 2,216

4.Probabilités

Réponse: P = 0,04096

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,4⁶ = 0,004096

P(X = 1) = 6·0,6·0,4⁵ = 0,03686

Les additionner

P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096

Réponse

P = 0,04096

5.Loi normale

Réponse: P = 0,2529

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (60,5 − 65)/10 = −0,45

z₂ = (67 − 65)/10 = 0,2

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(0,2) − Φ(−0,45) = 0,5793 − 0,3264 = 0,2529

Réponse

P = 0,2529

6.Loi normale

Réponse: P = 0,8849

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², donc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi de la différence

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Centrer-réduire

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Probabilités

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Réponse

P = 0,8849

7.Intervalles de confiance

Réponse: E₂ = 4,885

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Rapport des marges

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/36) = 1,191

Nouvelle marge

E₂ = 4,1·1,191 = 4,885

Réponse

E₂ = 4,885

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 1025

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Résoudre pour n

n = 1,96²·0,6·0,4/0,03² = 1024

Arrondir vers le haut

n = 1025

Réponse

n = 1025

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −3,1

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Statistique de test

t = (73,45 − 75)/0,5 = −3,1

Réponse

t = −3,1

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 44

Résoudre pour n

n = (1,645·4/1)² = 43,3

Arrondir vers le haut

n = 44

Réponse

n = 44

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9527

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 697/6 = 116,2

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 345

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1785

Coefficient de détermination

r² = 345²/(70·1785) = 0,9527

Réponse

r² = 0,9527

Environ 95,27 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 4,458

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 137/6 = 22,83

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33,5

Droite de régression

b = −33,5/17,5 = −1,914

a = 22,83 − (−1,914)·3,5 = 29,53

ŷ = 29,53 − 1,914·x

Résoudre pour x

x = (21 − 29,53)/(−1,914) = 4,458

Réponse

x = 4,458

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