Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 42, 23, 32, 12, 33, 59.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 5. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 105 ?

μ = 100σ = 5x = 105

P =

3.ProbabilitésMoyen

On lance un dé équilibré 2 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?

n = 2

P =

4.ProbabilitésDifficile

On teste 10 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,5, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 10p = 0,5

P =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,9857. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,9857

z =

6.Loi normaleDifficile

Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 15 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 65 pointsσ = 10 points15%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 80 téléphones, moyenne 97,5 h, écart-type connu 14 h. Modèle 2 : 40 téléphones, moyenne 99 h, écart-type connu 6 h. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 97,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 40x̄₂ = 99 hσ₂ = 6 h99%

borne supérieure = h

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 69 kg, écart-type 5,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 7 parcelles, moyenne 71,5 kg, écart-type 7,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 69s₁ = 5,5n₂ = 7x̄₂ = 71,5s₂ = 7,590%t(10) = 1,812

E = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

La moyenne d’une population est censée valoir 80 ; l’écart-type de la population est connu et vaut 2,5. Un échantillon aléatoire de 25 observations a une moyenne de 80,75. Testez H₀ : μ = 80 contre H₁ : μ > 80. Trouvez la valeur p p.

μ₀ = 80σ = 2,5n = 25x̄ = 80,75H₁: μ > μ₀

p =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un test z unilatéral de H₀ : μ = 200 contre H₁ : μ > 200 est réalisé au seuil α = 0,10 avec un échantillon de 25 ; l’écart-type est connu et vaut 7,5. En réalité, la moyenne vaut 202,85. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.

μ₀ = 200μ = 202,85σ = 7,5n = 25α = 0,10

1 − β = %

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.

n = 5

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 18.

n = 5x = 18

ŷ =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 16,11

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 201/6 = 33,5

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 8,5² + (−10,5)² + (−1,5)² + (−21,5)² + (−0,5)² + 25,5² = 1298

Écart-type

s = √(1298/5) = 16,11

Réponse

s = 16,11

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,8413

Centrer-réduire

z = 1

Table de la loi normale

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Réponse

P = 0,8413

3.Probabilités

Réponse: P = 0,3056

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complémentaire

P(aucun six) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Réponse

P = 0,3056

4.Probabilités

Réponse: P = 0,01074

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,5¹⁰ = 0,0009766

P(X = 1) = 10·0,5·0,5⁹ = 0,009766

Les additionner

P = 0,0009766 + 0,009766 = 0,01074

Réponse

P = 0,01074

5.Loi normale

Réponse: z = −2,19

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = 1 − 0,9857 = 0,0143

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,0143 dans la table et lisez z.

z = −2,19

Réponse

z = −2,19

6.Loi normale

Réponse: x = 75,4 points

Aire à gauche

Φ(z) = 0,85

z d’après la table

z ≈ 1,04

Retour aux unités d’origine

x = 65 + 1,04·10 = 75,4 points

Réponse

x = 75,4 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 3,215 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimation ponctuelle

x̄₁ − x̄₂ = 97,5 − 99 = −1,5

Erreur type

SE = √(14²/80 + 6²/40) = 1,83

Marge d'erreur

E = 2,576·1,83 = 4,715

Intervalle

−1,5 ± 4,715 → [−6,215, 3,215]

Réponse

borne supérieure = 3,215 h

L’intervalle contient 0, donc les données ne montrent pas de différence significative.

8.Intervalles de confiance

Réponse: E = 7,184 kg

Écart-type commun

s_p² = (4·5,5² + 6·7,5²)/10 = 45,85

s_p = 6,771

Marge d'erreur

E = 1,812·6,771·√(1/5 + 1/7) = 7,184

Réponse

E = 7,184 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: p = 0,06681

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistique de test

SE = σ/√n = 2,5/√25 = 0,5

z = (80,75 − 80)/0,5 = 1,5

Aire de la queue

Φ(1,5) = 0,9332

1 − Φ(1,5) = 0,0668

Valeur p

p = 0,06681

Réponse

p = 0,06681

p > 0,05, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 %.

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: 1 − β = 73,17 %

Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Moyenne d’échantillon critique

SE = 7,5/√25 = 1,5

x̄_c = 200 + 1,282·1,5 = 201,9

z avec la vraie moyenne

z = (201,9 − 202,85)/1,5 = −0,618

Puissance

puissance = P(Z > −0,618) = 73,17%

1 − β = 73,17%

Réponse

1 − β = 73,17%

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = −0,9669

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 99/5 = 19,8

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 102,8

Coefficient de corrélation

r = −31/√(10·102,8) = −0,9669

Réponse

r = −0,9669

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: ŷ = 50,35

Moyennes

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 302/5 = 60,4

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

Droite de régression

b = 134/40 = 3,35

a = 60,4 − 3,35·21 = −9,95

ŷ = −9,95 + 3,35·x

Prédiction

ŷ = −9,95 + 3,35·18 = 50,35

Réponse

ŷ = 50,35

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