Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 31, 21, 36, 45, 32.

n = 5

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 72,5.

μ = 50σ = 15x = 72,5

z =

3.ProbabilitésMoyen

De combien de façons N peut-on choisir un comité de 2 personnes parmi un groupe de 14 ? L'ordre ne compte pas.

n = 14k = 2

N =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 8 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,6, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 5 bonnes réponses ?

n = 8p = 0,6k = 5

P =

5.Loi normaleMoyen

X est normale de moyenne 120 mm et d’écart-type 0,3 mm ; Y est indépendante et normale de moyenne 80 mm et d’écart-type 0,4 mm. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 199,8 mm. Arrondissez z à deux décimales.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,8 mm

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 60 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 100 pointsσ = 15 points60%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 60 téléphones, moyenne 60 h, écart-type connu 5 h. Modèle 2 : 60 téléphones, moyenne 73 h, écart-type connu 19 h. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 60 hσ₁ = 5 hn₂ = 60x̄₂ = 73 hσ₂ = 19 h90%

borne inférieure = h

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 25 parcelles, rendement moyen 54 kg, écart-type 6,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 6 parcelles, moyenne 49,5 kg, écart-type 9 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 25x̄₁ = 54s₁ = 6,5n₂ = 6x̄₂ = 49,5s₂ = 990%t(29) = 1,699

borne supérieure = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 100 étudiants a une note moyenne de 79,35 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 79,35s = 15n = 100

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 0,5 ? L'écart-type est 20. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 20E = 0,595%

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.

n = 6

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (2, 61). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(2, 61)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 8,689

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 165/5 = 33

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−12)² + 3² + 12² + (−1)² = 302

Écart-type

s = √(302/4) = 8,689

Réponse

s = 8,689

2.Statistique descriptive

Réponse: z = 1,5

Centrer-réduire

z = (72,5 − 50)/15 = 1,5

Réponse

z = 1,5

3.Probabilités

Réponse: N = 91

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaisons

C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91

Réponse

N = 91

4.Probabilités

Réponse: P = 0,2787

Formule binomiale

P(X = 5) = 56·0,6⁵·0,4³ = 56·0,07776·0,064 = 0,2787

Réponse

P = 0,2787

5.Loi normale

Réponse: P = 0,6554

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², donc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi de la somme

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Centrer-réduire

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

Queue supérieure

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

Réponse

P = 0,6554

6.Loi normale

Réponse: x = 103,8 points

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,6

z d’après la table

z ≈ 0,25

Retour aux unités d’origine

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 points

Réponse

x = 103,8 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = −17,17 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimation ponctuelle

x̄₁ − x̄₂ = 60 − 73 = −13

Erreur type

SE = √(5²/60 + 19²/60) = 2,536

Marge d'erreur

E = 1,645·2,536 = 4,172

Intervalle

−13 ± 4,172 → [−17,17, −8,828]

Réponse

borne inférieure = −17,17 h

L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.

8.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 9,903 kg

Écart-type commun

s_p² = (24·6,5² + 5·9²)/29 = 48,93

s_p = 6,995

Marge d'erreur

E = 1,699·6,995·√(1/25 + 1/6) = 5,403

Intervalle

4,5 ± 5,403 → [−0,9028, 9,903]

Réponse

borne supérieure = 9,903 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 2,9

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Statistique de test

t = (79,35 − 75)/1,5 = 2,9

Réponse

t = 2,9

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 6147

Résoudre pour n

n = (1,96·20/0,5)² = 6147

Arrondir vers le haut

n = 6147

Réponse

n = 6147

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = −0,93

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 125/6 = 20,83

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 130,8

Coefficient de corrélation

r = −44,5/√(17,5·130,8) = −0,93

Réponse

r = −0,93

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = 3,75

Moyennes

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 365/5 = 73

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 210

Droite de régression

b = 210/40 = 5,25

a = 73 − 5,25·5 = 46,75

ŷ = 46,75 + 5,25·x

Valeur prédite

ŷ = 46,75 + 5,25·2 = 57,25

Résidu

e = 61 − 57,25 = 3,75

Réponse

e = 3,75

Le point se trouve au-dessus de la droite.

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