Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 16, 42, 30, 46, 33.

n = 5

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 8. Trouve le score z z d'une note de 180.

μ = 170σ = 8x = 180

z =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = 0,5X + 1. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,3, 0,3Y = 0,5X + 1

σ_Y =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Quelle proportion se situe entre 82,75 et 103 points ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 82,75x₂ = 103

P =

6.Loi normaleDifficile

Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,02 mm et d’écart-type 0,02 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,02 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.

alésage: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmarbre: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Intervalles de confianceMoyen

On mesure la tension artérielle de 11 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de −8,9 et un écart-type de 3,3. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la différence moyenne.

n = 11d̄ = −8,9s_d = 3,395%t(10) = 2,228

borne inférieure = mmHg

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 10 parcelles, rendement moyen 64,5 kg, écart-type 8,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 11 parcelles, moyenne 52,5 kg, écart-type 9,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 64,5s₁ = 8,5n₂ = 11x̄₂ = 52,5s₂ = 9,599%t(19) = 2,861

E = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 200,5 et un écart-type d'échantillon de 4. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,5s = 4n = 36

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 95 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1,5 ? L'écart-type est 15. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 15E = 1,595%

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 5Σx = 15Σy = 112Σx² = 55Σy² = 2542Σxy = 321

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 12 ?

n = 6ŷ = 12

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 11,7

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 167/5 = 33,4

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = (−17,4)² + 8,6² + (−3,4)² + 12,6² + (−0,4)² = 547,2

Écart-type

s = √(547,2/4) = 11,7

Réponse

s = 11,7

2.Statistique descriptive

Réponse: z = 1,25

Centrer-réduire

z = (180 − 170)/8 = 1,25

Réponse

z = 1,25

3.Probabilités

Réponse: Var(X) = 1,188

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,2 + 4·0,35 = 2,75

Moyenne des carrés

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,2 + 16·0,35 = 8,75

Variance

Var(X) = 8,75 − 2,75² = 1,188

Réponse

Var(X) = 1,188

4.Probabilités

Réponse: σ_Y = 0,55

Dispersion de X

μ = 2,7, Var(X) = 1,21, σ_X = 1,1

Changement linéaire

σ_Y = |0,5|·1,1 = 0,55

Réponse

σ_Y = 0,55

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = 0,5·2,7 + 1 = 2,35.

5.Loi normale

Réponse: P = 0,4542

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15

z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(0,2) − Φ(−1,15) = 0,5793 − 0,1251 = 0,4542

Réponse

P = 0,4542

6.Loi normale

Réponse: P = 0,7611

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², donc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi de la différence

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm

Centrer-réduire

z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71

Probabilités

P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611

Réponse

P = 0,7611

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = −11,12 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valeur critique

df = 10, t = 2,228

Marge d'erreur

E = 2,228·3,3/√11 = 2,217

Intervalle

−8,9 ± 2,217 → [−11,12, −6,683]

Réponse

borne inférieure = −11,12 mmHg

8.Intervalles de confiance

Réponse: E = 11,3 kg

Écart-type commun

s_p² = (9·8,5² + 10·9,5²)/19 = 81,72

s_p = 9,04

Marge d'erreur

E = 2,861·9,04·√(1/10 + 1/11) = 11,3

Réponse

E = 11,3 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 0,75

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Statistique de test

t = (200,5 − 200)/0,6667 = 0,75

Réponse

t = 0,75

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 385

Résoudre pour n

n = (1,96·15/1,5)² = 384,2

Arrondir vers le haut

n = 385

Réponse

n = 385

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = −0,8232

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 321 − 15·112/5 = −15

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2542 − 112²/5 = 33,2

Coefficient de corrélation

r = −15/√(10·33,2) = −0,8232

Réponse

r = −0,8232

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 3,917

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 80/6 = 13,33

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56

Droite de régression

b = −56/17,5 = −3,2

a = 13,33 − (−3,2)·3,5 = 24,53

ŷ = 24,53 − 3,2·x

Résoudre pour x

x = (12 − 24,53)/(−3,2) = 3,917

Réponse

x = 3,917

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