Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 53, 57, 11, 13, 51, 37, 49.

n = 7

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 100 et d'écart-type 8. Trouve le score z z d'une note de 96.

μ = 100σ = 8x = 96

z =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,25, 0,05

Var(X) =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 5 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,2, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 1 bonnes réponses ?

n = 5p = 0,2k = 1

P =

5.Loi normaleMoyen

Les masses de caisses sont indépendantes et normales, de moyenne 12 kg et d’écart-type 0,8 kg. Trouvez la probabilité P que la masse totale de 5 d’entre eux soit inférieure à 61,8 kg. Arrondissez z à deux décimales.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 5< 61.8 kg

P =

6.Loi normaleDifficile

On suppose que les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart-type 10 points. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 10 % des valeurs (le 10e centile).

μ = 65σ = 10P = 10%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

On compare l’autonomie de la batterie de deux modèles de téléphone. Modèle 1 : 50 téléphones, moyenne 79,5 h, écart-type connu 8 h. Modèle 2 : 50 téléphones, moyenne 70,5 h, écart-type connu 13 h. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 79,5 hσ₁ = 8 hn₂ = 50x̄₂ = 70,5 hσ₂ = 13 h95%

borne inférieure = h

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 19 parcelles, rendement moyen 51 kg, écart-type 7,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 7 parcelles, moyenne 54,5 kg, écart-type 5,5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 19x̄₁ = 51s₁ = 7,5n₂ = 7x̄₂ = 54,5s₂ = 5,599%t(24) = 2,797

borne inférieure = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 79 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 79s = 20n = 36

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 99 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 0,5 ? L'écart-type est 12. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 12E = 0,599%

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 6

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (3,5, 17). Trouvez son résidu e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 17)

e =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 19,27

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 271/7 = 38,71

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 14,29² + 18,29² + (−27,71)² + (−25,71)² + 12,29² + (−1,714)² + 10,29² = 2227

Écart-type

s = √(2227/6) = 19,27

Réponse

s = 19,27

2.Statistique descriptive

Réponse: z = −0,5

Centrer-réduire

z = (96 − 100)/8 = −0,5

Réponse

z = −0,5

3.Probabilités

Réponse: Var(X) = 1,41

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,25 + 4·0,05 = 1,7

Moyenne des carrés

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,25 + 16·0,05 = 4,3

Variance

Var(X) = 4,3 − 1,7² = 1,41

Réponse

Var(X) = 1,41

4.Probabilités

Réponse: P = 0,4096

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formule binomiale

P(X = 1) = 5·0,2¹·0,8⁴ = 5·0,2·0,4096 = 0,4096

Réponse

P = 0,4096

5.Loi normale

Réponse: P = 0,8438

Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², donc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).

Loi du total

μ_T = 60 kg, σ_T = 0,8·√5 = 1,789 kg

Centrer-réduire

z = (61,8 − 60)/1,789 = 1,01

Probabilités

P = Φ(1,01) = 0,8438

Réponse

P = 0,8438

6.Loi normale

Réponse: x = 52,18 points

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

z du centile

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Retour à x

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 points

Réponse

x = 52,18 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 4,769 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimation ponctuelle

x̄₁ − x̄₂ = 79,5 − 70,5 = 9

Erreur type

SE = √(8²/50 + 13²/50) = 2,159

Marge d'erreur

E = 1,96·2,159 = 4,231

Intervalle

9 ± 4,231 → [4,769, 13,23]

Réponse

borne inférieure = 4,769 h

L’intervalle ne contient pas 0, donc les moyennes diffèrent significativement.

8.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = −12,22 kg

Écart-type commun

s_p² = (18·7,5² + 6·5,5²)/24 = 49,75

s_p = 7,053

Marge d'erreur

E = 2,797·7,053·√(1/19 + 1/7) = 8,723

Intervalle

−3,5 ± 8,723 → [−12,22, 5,223]

Réponse

borne inférieure = −12,22 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 1,2

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Statistique de test

t = (79 − 75)/3,333 = 1,2

Réponse

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 3823

Résoudre pour n

n = (2,576·12/0,5)² = 3822

Arrondir vers le haut

n = 3823

Réponse

n = 3823

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,7367

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 190/6 = 31,67

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 171,3

Coefficient de détermination

r² = 47²/(17,5·171,3) = 0,7367

Réponse

r² = 0,7367

Environ 73,67 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: e = −2,7

Moyennes

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 106/5 = 21,2

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Droite de régression

b = −30/10 = −3

a = 21,2 − (−3)·3 = 30,2

ŷ = 30,2 − 3·x

Valeur prédite

ŷ = 30,2 + (−3)·3,5 = 19,7

Résidu

e = 17 − 19,7 = −2,7

Réponse

e = −2,7

Le point se trouve en dessous de la droite.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1