Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 37, 11, 41, 56, 36, 14, 54.

n = 7

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 20. Quelle proportion P des valeurs est inférieure à 30 ?

μ = 50σ = 20x = 30

P =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,35, 0,3, 0,1

Var(X) =

4.ProbabilitésDifficile

On teste 12 composants, chacun tombe en panne avec une probabilité 0,1, indépendamment. Quelle est la probabilité P qu'au plus un tombe en panne ?

n = 12p = 0,1

P =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart-type 15 points. Quelle proportion se situe entre 92,5 et 108,25 points ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 92,5x₂ = 108,25

P =

6.Loi normaleDifficile

On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 99 % des valeurs (le 99e centile).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 12 éléments a une moyenne de 118 et un écart-type s = 10. La population est approximativement normale. Trouvez la marge d’erreur E d’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 12x̄ = 118s = 1099%t(11) = 3,106

E =

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 7 parcelles, rendement moyen 57 kg, écart-type 6 kg. Groupe de parcelles 2 : 14 parcelles, moyenne 66 kg, écart-type 6 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 57s₁ = 6n₂ = 14x̄₂ = 66s₂ = 695%t(19) = 2,093

borne supérieure = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 100 étudiants a une note moyenne de 196,9 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 196,9s = 10n = 100

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 49 mesures a une moyenne de 501. L'écart-type de la population est 10. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

x̄ = 501σ = 10n = 4990%

U =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 6Σx = 42Σy = 357Σx² = 364Σy² = 21677Σxy = 2670

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 14 ?

n = 6ŷ = 14

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 17,6

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 249/7 = 35,57

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 1,429² + (−24,57)² + 5,429² + 20,43² + 0,4286² + (−21,57)² + 18,43² = 1858

Écart-type

s = √(1858/6) = 17,6

Réponse

s = 17,6

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,1587

Centrer-réduire

z = −1

Table de la loi normale

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Réponse

P = 0,1587

3.Probabilités

Réponse: Var(X) = 3,55

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 0·0,25 + 2·0,35 + 4·0,3 + 6·0,1 = 2,5

Moyenne des carrés

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,35 + 16·0,3 + 36·0,1 = 9,8

Variance

Var(X) = 9,8 − 2,5² = 3,55

Réponse

Var(X) = 3,55

4.Probabilités

Réponse: P = 0,659

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zéro et une panne

P(X = 0) = 0,9¹² = 0,2824

P(X = 1) = 12·0,1·0,9¹¹ = 0,3766

Les additionner

P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659

Réponse

P = 0,659

5.Loi normale

Réponse: P = 0,4003

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5

z₂ = (108,25 − 100)/15 = 0,55

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(0,55) − Φ(−0,5) = 0,7088 − 0,3085 = 0,4003

Réponse

P = 0,4003

6.Loi normale

Réponse: x = 45,96 min

z du centile

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Retour à x

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Réponse

x = 45,96 min

7.Intervalles de confiance

Réponse: E = 8,966

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Marge d'erreur

E = 3,106·10/√12 = 8,966

Réponse

E = 8,966

8.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = −3,187 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Écart-type commun

s_p² = (6·6² + 13·6²)/19 = 36

s_p = 6

Marge d'erreur

E = 2,093·6·√(1/7 + 1/14) = 5,813

Intervalle

−9 ± 5,813 → [−14,81, −3,187]

Réponse

borne supérieure = −3,187 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −3,1

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Statistique de test

t = (196,9 − 200)/1 = −3,1

Réponse

t = −3,1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 503,4

Marge d'erreur

E = 1,645·10/√49 = 2,35

Borne de l'intervalle

U = 501 + 2,35 = 503,4

Réponse

U = 503,4

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,9794

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 2670 − 42·357/6 = 171

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 21677 − 357²/6 = 435,5

Coefficient de corrélation

r = 171/√(70·435,5) = 0,9794

Réponse

r = 0,9794

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 3,111

Moyennes

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 171/6 = 28,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 261

Droite de régression

b = 261/70 = 3,729

a = 28,5 − 3,729·7 = 2,4

ŷ = 2,4 + 3,729·x

Résoudre pour x

x = (14 − 2,4)/3,729 = 3,111

Réponse

x = 3,111

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