Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 46, 43, 34, 36, 50, 29.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 50 et d'écart-type 20. Trouve le score z z d'une note de 34.

μ = 50σ = 20x = 34

z =

3.ProbabilitésMoyen

On lance un dé équilibré 6 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?

n = 6

P =

4.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = −2X + 1. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,1, 0,25, 0,35, 0,1Y = −2X + 1

σ_Y =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,3483. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,3483

z =

6.Loi normaleDifficile

Les les scores de QI suivent une loi normale de moyenne 100 points et d’écart type 15 points. Faites glisser le seuil pour que les 30 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 100 pointsσ = 15 points30%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

On mesure la tension artérielle de 12 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 1,8 et un écart-type de 6. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la différence moyenne.

n = 12d̄ = 1,8s_d = 690%t(11) = 1,796

borne supérieure = mmHg

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 5 parcelles, rendement moyen 43,5 kg, écart-type 8,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 11 parcelles, moyenne 48 kg, écart-type 5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la marge d’erreur E de l’intervalle de confiance à 90 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 43,5s₁ = 8,5n₂ = 11x̄₂ = 48s₂ = 590%t(14) = 1,761

E = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 81 étudiants a une note moyenne de 47,11 et un écart-type d'échantillon de 10. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,11s = 10n = 81

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 25 mesures a une moyenne de 195. L'écart-type de la population est 12. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

x̄ = 195σ = 12n = 2595%

U =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 6Σx = 21Σy = 121Σx² = 91Σy² = 2495Σxy = 394

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 80 ?

n = 6ŷ = 80

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 7,967

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 238/6 = 39,67

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 6,333² + 3,333² + (−5,667)² + (−3,667)² + 10,33² + (−10,67)² = 317,3

Écart-type

s = √(317,3/5) = 7,967

Réponse

s = 7,967

2.Statistique descriptive

Réponse: z = −0,8

Centrer-réduire

z = (34 − 50)/20 = −0,8

Réponse

z = −0,8

3.Probabilités

Réponse: P = 0,6651

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complémentaire

P(aucun six) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Réponse

P = 0,6651

4.Probabilités

Réponse: σ_Y = 2,567

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Dispersion de X

μ = 3,05, Var(X) = 1,648, σ_X = 1,284

Changement linéaire

σ_Y = |−2|·1,284 = 2,567

Réponse

σ_Y = 2,567

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = −2·3,05 + 1 = −5,1.

5.Loi normale

Réponse: z = 0,39

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = 1 − 0,3483 = 0,6517

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,6517 dans la table et lisez z.

z = 0,39

Réponse

z = 0,39

6.Loi normale

Réponse: x = 92,2 points

Aire à gauche

Φ(z) = 0,3

z d’après la table

z ≈ −0,52

Retour aux unités d’origine

x = 100 − 0,52·15 = 92,2 points

Réponse

x = 92,2 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 4,911 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valeur critique

df = 11, t = 1,796

Marge d'erreur

E = 1,796·6/√12 = 3,111

Intervalle

1,8 ± 3,111 → [−1,311, 4,911]

Réponse

borne supérieure = 4,911 mmHg

8.Intervalles de confiance

Réponse: E = 5,893 kg

Écart-type commun

s_p² = (4·8,5² + 10·5²)/14 = 38,5

s_p = 6,205

Marge d'erreur

E = 1,761·6,205·√(1/5 + 1/11) = 5,893

Réponse

E = 5,893 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −2,601

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Statistique de test

t = (47,11 − 50)/1,111 = −2,601

Réponse

t = −2,601

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 199,7

Marge d'erreur

E = 1,96·12/√25 = 4,704

Borne de l'intervalle

U = 195 + 4,704 = 199,7

Réponse

U = 199,7

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = −0,9523

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 394 − 21·121/6 = −29,5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 2495 − 121²/6 = 54,83

Coefficient de corrélation

r = −29,5/√(17,5·54,83) = −0,9523

Réponse

r = −0,9523

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 5,701

Moyennes

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 471/6 = 78,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130,5

Droite de régression

b = 130,5/17,5 = 7,457

a = 78,5 − 7,457·5,5 = 37,49

ŷ = 37,49 + 7,457·x

Résoudre pour x

x = (80 − 37,49)/7,457 = 5,701

Réponse

x = 5,701

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