Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 39, 32, 47, 42, 31, 22.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Une grandeur suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 40. Quelle proportion P des valeurs est supérieure à 480 ?

μ = 500σ = 40x = 480

P =

3.ProbabilitésMoyen

On lance un dé équilibré 6 fois. Quelle est la probabilité P d'obtenir au moins un six ?

n = 6

P =

4.ProbabilitésDifficile

X a la loi indiquée, et Y = −2X + 4. Trouvez l’écart-type σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = −2X + 4

σ_Y =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Quelle proportion se situe entre 30,5 et 39,5 min ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 39,5

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart type 7 cm. Faites glisser le seuil pour que les 60 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 8 éléments a une moyenne de 27 et un écart-type s = 4. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

n = 8x̄ = 27s = 495%t(7) = 2,365

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

On teste deux engrais. Groupe de parcelles 1 : 13 parcelles, rendement moyen 58 kg, écart-type 8,5 kg. Groupe de parcelles 2 : 8 parcelles, moyenne 69 kg, écart-type 5 kg. Supposez les variances égales (t avec variance commune, df = n₁ + n₂ − 2). Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 58s₁ = 8,5n₂ = 8x̄₂ = 69s₂ = 599%t(19) = 2,861

borne supérieure = kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 101,8 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,8s = 15n = 36

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 16 mesures a une moyenne de 201,8. L'écart-type de la population est 12. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne.

x̄ = 201,8σ = 12n = 1695%

U =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 5 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 5

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Pour quelle valeur x la droite prédit-elle ŷ = 113 ?

n = 6ŷ = 113

x =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 8,961

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 213/6 = 35,5

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 3,5² + (−3,5)² + 11,5² + 6,5² + (−4,5)² + (−13,5)² = 401,5

Écart-type

s = √(401,5/5) = 8,961

Réponse

s = 8,961

2.Statistique descriptive

Réponse: P = 0,6915

Centrer-réduire

z = −0,5

Table de la loi normale

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Réponse

P = 0,6915

3.Probabilités

Réponse: P = 0,6651

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complémentaire

P(aucun six) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Réponse

P = 0,6651

4.Probabilités

Réponse: σ_Y = 1,609

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Dispersion de X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Changement linéaire

σ_Y = |−2|·0,8047 = 1,609

Réponse

σ_Y = 1,609

La moyenne, elle, se déplace : E(Y) = −2·1,05 + 4 = 1,9.

5.Loi normale

Réponse: P = 0,4931

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (39,5 − 32)/6 = 1,25

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(1,25) − Φ(−0,25) = 0,8944 − 0,4013 = 0,4931

Réponse

P = 0,4931

6.Loi normale

Réponse: x = 179,8 cm

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,6

z d’après la table

z ≈ 0,25

Retour aux unités d’origine

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

Réponse

x = 179,8 cm

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 30,34

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Marge d'erreur

E = 2,365·4/√8 = 3,345

Intervalle

27 ± 3,345 → [23,66, 30,34]

Réponse

borne supérieure = 30,34

8.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = −1,479 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Écart-type commun

s_p² = (12·8,5² + 7·5²)/19 = 54,84

s_p = 7,406

Marge d'erreur

E = 2,861·7,406·√(1/13 + 1/8) = 9,521

Intervalle

−11 ± 9,521 → [−20,52, −1,479]

Réponse

borne supérieure = −1,479 kg

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = 0,72

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Statistique de test

t = (101,8 − 100)/2,5 = 0,72

Réponse

t = 0,72

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 207,7

Marge d'erreur

E = 1,96·12/√16 = 5,88

Borne de l'intervalle

U = 201,8 + 5,88 = 207,7

Réponse

U = 207,7

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9796

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 116/5 = 23,2

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 58,8

Coefficient de détermination

r² = −24²/(10·58,8) = 0,9796

Réponse

r² = 0,9796

Environ 97,96 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: x = 23,01

Moyennes

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 567/6 = 94,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 323

Droite de régression

b = 323/70 = 4,614

a = 94,5 − 4,614·19 = 6,829

ŷ = 6,829 + 4,614·x

Résoudre pour x

x = (113 − 6,829)/4,614 = 23,01

Réponse

x = 23,01

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