Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 53, 36, 54, 22, 23, 59.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 170 et d'écart-type 15. Trouve le score z z d'une note de 192,5.

μ = 170σ = 15x = 192,5

z =

3.ProbabilitésMoyen

Pour la loi indiquée, trouvez la variance Var(X) de X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 9 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,3, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 2 bonnes réponses ?

n = 9p = 0,3k = 2

P =

5.Loi normaleMoyen

Faites glisser z pour que l’aire colorée entre −z et z sous la courbe normale centrée réduite soit 0,9464. Trouvez z avec deux décimales.

A = 0,9464

z =

6.Loi normaleDifficile

On suppose que les délais de livraison suivent une loi normale de moyenne 32 min et d’écart-type 6 min. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 90 % des valeurs (le 90e centile).

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 11 éléments a une moyenne de 105 et un écart-type s = 17,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

n = 11x̄ = 105s = 17,599%t(10) = 3,169

borne supérieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 29. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2,5 ?

σ = 29E = 2,599%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 36 étudiants a une note moyenne de 64,67 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 64,67s = 20n = 36

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Un échantillon de 16 mesures a une moyenne de 200,1. L'écart-type de la population est 5. Trouve la borne supérieure U de l'intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne.

x̄ = 200,1σ = 5n = 1699%

U =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.

n = 6

r² =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 5 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 16,41

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 247/6 = 41,17

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 11,83² + (−5,167)² + 12,83² + (−19,17)² + (−18,17)² + 17,83² = 1347

Écart-type

s = √(1347/5) = 16,41

Réponse

s = 16,41

2.Statistique descriptive

Réponse: z = 1,5

Centrer-réduire

z = (192,5 − 170)/15 = 1,5

Réponse

z = 1,5

3.Probabilités

Réponse: Var(X) = 0,6475

Variables aléatoires discrètes : une loi de probabilité énumère chaque valeur x que peut prendre la variable avec sa probabilité p(x) ; les probabilités sont comprises entre 0 et 1 et leur somme vaut 1. L’espérance (moyenne) est E(X) = Σx·p(x), la moyenne à long terme. La variance est Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², et l’écart-type σ = √Var(X). Pour un changement linéaire Y = aX + b : E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) et σ_Y = |a|·σ_X ; ajouter une constante ne change pas la dispersion.

Moyenne

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Moyenne des carrés

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Variance

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Réponse

Var(X) = 0,6475

4.Probabilités

Réponse: P = 0,2668

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formule binomiale

P(X = 2) = 36·0,3²·0,7⁷ = 36·0,09·0,08235 = 0,2668

Réponse

P = 0,2668

5.Loi normale

Réponse: z = 1,93

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche de z

Φ(z) = (1 + 0,9464)/2 = 0,9732

Lire la table de z à l’envers

Trouvez 0,9732 dans la table et lisez z.

z = 1,93

Réponse

z = 1,93

6.Loi normale

Réponse: x = 39,69 min

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

z du centile

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Retour à x

x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min

Réponse

x = 39,69 min

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne supérieure = 121,7

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Marge d'erreur

E = 3,169·17,5/√11 = 16,72

Intervalle

105 ± 16,72 → [88,28, 121,7]

Réponse

borne supérieure = 121,7

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 893

Résoudre pour n

n = (2,576·29/2,5)² = 892,9

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 893

Réponse

n = 893

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −3,099

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Statistique de test

t = (64,67 − 75)/3,333 = −3,099

Réponse

t = −3,099

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: U = 203,3

Marge d'erreur

E = 2,576·5/√16 = 3,22

Borne de l'intervalle

U = 200,1 + 3,22 = 203,3

Réponse

U = 203,3

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r² = 0,9789

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Moyennes

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 843/6 = 140,5

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 886,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 5098

Coefficient de détermination

r² = 886,5²/(157,5·5098) = 0,9789

Réponse

r² = 0,9789

Environ 97,89 % de la variation de y est expliquée par la droite.

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: ŷ = 20,65

Moyennes

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 123/5 = 24,6

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

Droite de régression

b = 158/40 = 3,95

a = 24,6 − 3,95·6 = 0,9

ŷ = 0,9 + 3,95·x

Prédiction

ŷ = 0,9 + 3,95·5 = 20,65

Réponse

ŷ = 20,65

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