Introduction à la statistique : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 12 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Statistique descriptive

Moyenne: x̄ = Σx/n
Écart-type d’échantillon: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Médiane: valeur du milieu des données triées
Score z: z = (x − μ)/σ
Loi normale: 68% dans ±1σ, 95% dans ±2σ

Probabilités

Complémentaire: P(not A) = 1 − P(A)
Formule d’addition: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Événements indépendants: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilité conditionnelle: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Loi binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Loi normale

Score z: z = (x − μ)/σ
En dessous de x: P(X < x) = Φ(z)
Au-dessus de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre deux valeurs: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Centile: x = μ + z·σ

Méthode

Convertissez la valeur en score z : z = (x − μ)/σ.
Lisez Φ(z), l’aire à gauche de z.
Pour l’aire à droite, utilisez 1 − Φ(z) ; pour un intervalle, soustrayez les deux aires à gauche.
Pour un centile, procédez à l’envers : trouvez z pour l’aire, puis x = μ + z·σ.

Intervalles de confiance

σ connu: x̄ ± z·σ/√n
σ inconnu: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critique: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Taille d’échantillon: n = (z·σ/E)², rounded up

Méthode

Choisissez entre z (σ de la population connu) et t (seulement l’écart type s de l’échantillon, avec n − 1 degrés de liberté).
Trouvez la valeur critique pour le niveau de confiance.
Marge d’erreur : E = valeur critique × écart type/√n.
Intervalle : x̄ ± E.

Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Test z pour une moyenne: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t pour une moyenne: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilatéral à 5%: rejeter H₀ si |z| > 1,96
Intervalle de confiance: x̄ ± z·σ/√n

Méthode

Énoncez H₀ et H₁ et déterminez si le test est unilatéral ou bilatéral.
Calculez la statistique de test : (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou avec s et t.
Comparez avec la valeur critique ou trouvez la valeur p.
Rejetez H₀ si la statistique dépasse la valeur critique (p inférieure à α), et énoncez la conclusion en mots.

Régression linéaire et corrélation

Sommes des carrés: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pente: b = S_xy/S_xx
Ordonnée à l’origine: a = ȳ − b·x̄
Corrélation: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Résidu: e = y − ŷ

2Exercices

1.Statistique descriptiveMoyen

Trouve l'écart-type d'échantillon s des données : 54, 45, 39, 33, 38, 40.

n = 6

s =

2.Statistique descriptiveDifficile

Les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 500 et d'écart-type 50. Trouve le score z z d'une note de 400.

μ = 500σ = 50x = 400

z =

3.ProbabilitésMoyen

Un sac contient 6 boules rouges et 3 bleues. Tu tires deux boules sans remettre la première. Quelle est la probabilité P que les deux soient rouges ?

6 / 3

P =

4.ProbabilitésDifficile

Un test comporte 7 QCM. Une étudiante qui répond au hasard a chaque réponse juste avec une probabilité 0,4, indépendamment. Quelle est la probabilité P d'avoir exactement 5 bonnes réponses ?

n = 7p = 0,4k = 5

P =

5.Loi normaleMoyen

On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Quelle proportion se situe entre 167,85 et 188,5 cm ? Donnez P sous forme décimale.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,85x₂ = 188,5

P =

6.Loi normaleDifficile

Les les notes d’un examen suivent une loi normale de moyenne 65 points et d’écart type 10 points. Faites glisser le seuil pour que les 95 % les plus élevés (zone colorée) soient à sa droite. Trouvez le seuil x.

μ = 65 pointsσ = 10 points95%

x = points

7.Intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 15 éléments a une moyenne de 52,5 et un écart-type s = 5,5. La population est approximativement normale. Trouvez la borne inférieure de l’intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne.

n = 15x̄ = 52,5s = 5,590%t(14) = 1,761

borne inférieure =

8.Intervalles de confianceDifficile

L’écart-type de la population est 22. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?

σ = 22E = 399%

n =

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceMoyen

Un échantillon de 16 étudiants a une note moyenne de 66,75 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 66,75s = 15n = 16

t =

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confianceDifficile

Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 90 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1,5 ? L'écart-type est 10. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.

σ = 10E = 1,590%

n =

11.Régression linéaire et corrélationMoyen

Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.

n = 6Σx = 120Σy = 617Σx² = 2470Σy² = 65367Σxy = 12701

r =

12.Régression linéaire et corrélationDifficile

Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

3Solutions

1.Statistique descriptive

Réponse: s = 7,232

Statistique descriptive : la moyenne est la somme divisée par n ; la médiane est la valeur du milieu des données triées (la moyenne des deux valeurs du milieu si n est pair). L'écart-type d'échantillon est s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un score z = (x − μ)/σ indique à combien d'écarts-types une valeur se trouve de la moyenne.

Moyenne

x̄ = 249/6 = 41,5

Écarts au carré

Σ(x − x̄)² = 12,5² + 3,5² + (−2,5)² + (−8,5)² + (−3,5)² + (−1,5)² = 261,5

Écart-type

s = √(261,5/5) = 7,232

Réponse

s = 7,232

2.Statistique descriptive

Réponse: z = −2

Centrer-réduire

z = (400 − 500)/50 = −2

Réponse

z = −2

3.Probabilités

Réponse: P = 0,4167

Probabilités : avec des issues équiprobables, P(A) = cas favorables/cas possibles. Pour des événements indépendants, on multiplie : P(A et B) = P(A)·P(B). Le complémentaire aide souvent : P(au moins un) = 1 − P(aucun). Loi binomiale : pour n épreuves indépendantes de probabilité de succès p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Premier et second tirage

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Réponse

P = 0,4167

4.Probabilités

Réponse: P = 0,07741

Formule binomiale

P(X = 5) = 21·0,4⁵·0,6² = 21·0,01024·0,36 = 0,07741

Réponse

P = 0,07741

5.Loi normale

Réponse: P = 0,8597

Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.

Scores z

z₁ = (167,85 − 178)/7 = −1,45

z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5

Aire entre les deux valeurs

P = Φ(1,5) − Φ(−1,45) = 0,9332 − 0,07353 = 0,8597

Réponse

P = 0,8597

6.Loi normale

Réponse: x = 48,6 points

D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.

Aire à gauche

Φ(z) = 0,05

z d’après la table

z ≈ −1,64

Retour aux unités d’origine

x = 65 − 1,64·10 = 48,6 points

Réponse

x = 48,6 points

7.Intervalles de confiance

Réponse: borne inférieure = 50

Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.

Valeur critique

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Marge d'erreur

E = 1,761·5,5/√15 = 2,501

Intervalle

52,5 ± 2,501 → [50, 55]

Réponse

borne inférieure = 50

8.Intervalles de confiance

Réponse: n = 357

Résoudre pour n

n = (2,576·22/3)² = 356,9

Arrondir vers le haut

Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.

n = 357

Réponse

n = 357

9.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: t = −2,2

Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).

Erreur type

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Statistique de test

t = (66,75 − 75)/3,75 = −2,2

Réponse

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).

10.Tests d'hypothèse et intervalles de confiance

Réponse: n = 121

Résoudre pour n

n = (1,645·10/1,5)² = 120,3

Arrondir vers le haut

n = 121

Réponse

n = 121

11.Régression linéaire et corrélation

Réponse: r = 0,985

Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.

Sommes centrées

S_xy = 12701 − 120·617/6 = 361

S_xx = 2470 − 120²/6 = 70

S_yy = 65367 − 617²/6 = 1919

Coefficient de corrélation

r = 361/√(70·1919) = 0,985

Réponse

r = 0,985

12.Régression linéaire et corrélation

Réponse: ŷ = 19,04

Moyennes

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 130/6 = 21,67

Sommes des carrés et des produits

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

Droite de régression

b = −23/17,5 = −1,314

a = 21,67 − (−1,314)·3,5 = 26,27

ŷ = 26,27 − 1,314·x

Prédiction

ŷ = 26,27 + (−1,314)·5,5 = 19,04

Réponse

ŷ = 19,04

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