Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
X est normale de moyenne 120 mm et d’écart-type 0,3 mm ; Y est indépendante et normale de moyenne 80 mm et d’écart-type 0,4 mm. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 199,3 mm. Arrondissez z à deux décimales.
Les les durées de vie des piles suivent une loi normale de moyenne 500 h et d’écart type 40 h. Faites glisser le seuil pour que les 40 % les plus bas (zone colorée) soient à sa gauche. Trouvez le seuil x.
Un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne, fondé sur 36 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 8,8. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 90 % obtenu avec les mêmes données ?
Les diamètres de 25 arbres usinés ont un écart-type d’échantillon de 7,4 µm. En supposant les diamètres normalement distribués, trouvez la borne supérieure σ de l’intervalle de confiance à 95 % pour l’écart-type de la population. Avec df = 24, 2,5 % de la loi du χ² se trouve en dessous de 12,401 et 2,5 % au-dessus de 39,364.
7 employés passent un test de dactylographie avant et après une formation. Pour chaque personne, on relève la différence d = après − avant (mots par minute). La différence moyenne vaut 6,12 et l’écart-type des différences 4,5. Trouvez la statistique du test apparié t pour H₀ : μd = 0.
Un test z unilatéral de H₀ : μ = 500 contre H₁ : μ < 500 est réalisé au seuil α = 0.05 avec un échantillon de 64 ; l’écart-type est connu et vaut 8. En réalité, la moyenne vaut 496.7. Trouvez la puissance 1 − β du test en pourcentage.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Trouvez le coefficient de détermination r² de la droite des moindres carrés.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. Prédisez ŷ pour x = 6.
Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Pour un test d’indépendance du khi-deux, trouvez l’effectif attendu E de la case « urbain, moyen ».
Le tableau indique les effectifs observés. Testez au seuil α = 0,01 si les deux variables sont indépendantes (sans correction de continuité). Calculez la statistique de test χ², puis comparez-la à la valeur critique de la table.
Réponse: P = 0,9192
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Réponse: x = 490 h
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Réponse: E₂ = 7,386
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Réponse: σ = 10,29 µm
Intervalle pour une variance : (n − 1)s²/σ² suit une loi du χ² à n − 1 degrés de liberté. L’intervalle à 95 % pour σ² va de (n − 1)s² divisé par la valeur supérieure du χ² (2,5 % au-dessus) à (n − 1)s² divisé par la valeur inférieure du χ² (2,5 % en dessous) ; l’intervalle pour σ est la racine carrée des deux bornes. Il n’est pas symétrique autour de s.
Intervalle à 95 % pour σ : [5,778, 10,29] µm.
Réponse: t = 3,598
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Avec df = 6, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,447 ; |t| est plus grand, donc H₀ est rejetée.
Réponse: 1 − β = 95,1 %
Puissance d’un test : la puissance 1 − β est la probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse. Trouvez le seuil x̄c à partir de μ₀ et z_α, puis calculez la probabilité de dépasser x̄c avec la vraie moyenne : z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Réponse: r² = 0,976
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Environ 97,6 % de la variation de y est expliquée par la droite.
Réponse: ŷ = 47,7
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Réponse: E = 23,21
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
Réponse: χ² = 1,875
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
χ² est inférieur à la valeur critique, donc H₀ n’est pas rejetée : il n’y a pas de preuve significative d’une relation.
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