Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Faites glisser z pour que l’aire colorée sous la courbe normale centrée réduite, à droite de z, soit 0,0110. Trouvez z avec deux décimales.
On suppose que les masses des sachets suivent une loi normale de moyenne 250 g et d’écart-type 5 g. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 20 % des valeurs (le 20e centile).
On mesure la tension artérielle de 13 patients avant et après un traitement. Les différences d = avant − après (mmHg) ont une moyenne de 7 et un écart-type de 7,8. Trouvez la borne supérieure de l’intervalle de confiance à 99 % pour la différence moyenne.
L’écart-type de la population est 12. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 3 ?
On compare deux méthodes d’enseignement. Groupe 1 : 17 étudiants, note moyenne 76,5, écart-type 3,5. Groupe 2 : 14 étudiants, note moyenne 81,5, écart-type 11,5. Supposez les variances des populations égales et utilisez le test t à deux échantillons avec variance commune. Trouvez la statistique de test t pour H₀ : μ₁ = μ₂, en prenant la différence x̄₁ − x̄₂ (groupe 1 moins groupe 2).
Quelle taille doit avoir un échantillon pour que l'intervalle de confiance à 90 % d'une moyenne ait une marge d'erreur d'au plus 1,5 ? L'écart-type est 12. Trouve la plus petite taille d'échantillon n.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = âge de la voiture en années et y = prix en k€. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (22, 99). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Calculez la statistique du khi-deux χ² du test d’indépendance entre la variable en ligne et la variable en colonne. N’utilisez pas de correction de continuité.
Le tableau indique les effectifs observés. Testez au seuil α = 0,05 si les deux variables sont indépendantes (sans correction de continuité). Calculez la statistique de test χ², puis comparez-la à la valeur critique de la table.
Réponse: z = 2,29
D’une aire à z : Φ(z) est l’aire à gauche de z. Pour une aire A de la queue gauche, trouvez dans la table le z tel que Φ(z) = A. Une aire A de la queue droite signifie Φ(z) = 1 − A. Une aire centrale A entre −z et z laisse (1 − A)/2 dans chaque queue, donc Φ(z) = (1 + A)/2. Pour une valeur x, utilisez x = μ + zσ.
Trouvez 0,9890 dans la table et lisez z.
Réponse: x = 245,8 g
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Réponse: borne supérieure = 13,61 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Réponse: n = 62
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
Réponse: t = −1,705
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Avec df = 29, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut 2,045 ; |t| est plus petit, donc H₀ n’est pas rejetée.
Réponse: n = 174
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
Réponse: r = −0,9654
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Réponse: e = 2,5
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Le point se trouve au-dessus de la droite.
Réponse: χ² = 13,09
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
df = 2. Pour α = 0,05, la valeur critique vaut 5,991 ; H₀ (indépendance) est donc rejetée.
Réponse: χ² = 103,2
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
χ² est supérieur à la valeur critique, donc H₀ est rejetée : les variables semblent liées.
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