Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Quelle proportion se situe entre 172,4 et 188,5 cm ? Donnez P sous forme décimale.
On suppose que les tailles des hommes adultes suivent une loi normale de moyenne 178 cm et d’écart-type 7 cm. Trouvez la valeur x en dessous de laquelle se situent 95 % des valeurs (le 95e centile).
Un intervalle de confiance à 99 % pour une moyenne, fondé sur 36 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 6,8. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 95 % obtenu avec les mêmes données ?
L’écart-type de la population est 8. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 90 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 2 ?
Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 57,25 et un écart-type d'échantillon de 20. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 50.
Dans un essai, 30 patients sur 120 sous traitement A guérissent, et 23 sur 120 sous traitement B. En utilisant la proportion commune, trouvez la statistique de test z pour H₀ : p₁ = p₂.
Le tableau donne 5 observations appariées de x = température en °C et y = glaces vendues. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = charge en kN et y = allongement en mm. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (11, 35). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Calculez la statistique du khi-deux χ² du test d’indépendance entre la variable en ligne et la variable en colonne. N’utilisez pas de correction de continuité.
Un test d’indépendance du khi-deux est effectué sur un tableau de contingence de 2 lignes et 11 colonnes (sans compter les totaux). À l’aide de la table, trouvez la valeur critique χ²crit au seuil de signification α = 0,01.
Réponse: P = 0,7213
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Réponse: x = 189,5 cm
Loi normale : transformez une valeur x en score z, z = (x − μ)/σ, qui compte le nombre d’écarts-types par rapport à la moyenne. Une table de z (ou Φ(z)) donne l’aire à gauche de z, c’est-à-dire P(X < x). L’aire à droite vaut 1 − Φ(z), et l’aire entre deux valeurs est la différence de leurs deux aires.
Réponse: E₂ = 5,174
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Réponse: n = 44
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
Réponse: t = 2,9
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
|t| > 1,998, donc H₀ est rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
Réponse: z = 1,089
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| < 1,96, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
Réponse: r = 0,9794
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Réponse: e = −4,257
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Le point se trouve en dessous de la droite.
Réponse: χ² = 7,146
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
df = 1. Pour α = 0,05, la valeur critique vaut 3,841 ; H₀ (indépendance) est donc rejetée.
Réponse: χ²crit = 23,21
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
Rejetez H₀ si le χ² calculé est supérieur à cette valeur.
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