Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
X est normale de moyenne 250 g et d’écart-type 4 g ; Y est indépendante et normale de moyenne 500 g et d’écart-type 9 g. Trouvez la probabilité P que X + Y dépasse 769,7 g. Arrondissez z à deux décimales.
Les diamètres D des alésages sont normaux de moyenne 25,03 mm et d’écart-type 0,02 mm. Les diamètres d des arbres sont indépendants et normaux de moyenne 25 mm et d’écart-type 0,015 mm. Un arbre choisi au hasard s’ajuste lorsque D − d > 0. Trouvez la probabilité P qu’il s’ajuste. Arrondissez z à deux décimales.
Un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne, fondé sur 100 observations et un σ connu, a une marge d’erreur de 8,1. Quelle est la marge d’erreur E₂ d’un intervalle à 99 % obtenu avec les mêmes données ?
L’écart-type de la population est 17. Quelle taille d’échantillon n faut-il pour qu’un intervalle de confiance à 99 % pour la moyenne ait une marge d’erreur d’au plus 1,5 ?
Un échantillon de 64 étudiants a une note moyenne de 116,6 et un écart-type d'échantillon de 15. Calcule la statistique de test t pour H₀ : μ = 120.
Un test z unilatéral au seuil α = 0,05 doit détecter un décalage de la moyenne de 3 unités avec une puissance de 90 %. L’écart-type vaut 24. Trouvez la taille d’échantillon minimale n.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = heures de révision et y = note à l’examen. Leurs sommes sont données. Trouvez le coefficient de corrélation de Pearson r à partir de ces sommes.
Le tableau donne 6 observations appariées de x = dépenses publicitaires en k€ et y = ventes en k€. Utilisez la droite des moindres carrés ŷ = a + b·x. On fait une nouvelle observation (5,5, 52). Trouvez son résidu e = y − ŷ.
Le tableau de contingence indique les effectifs observés. Calculez la statistique du khi-deux χ² du test d’indépendance entre la variable en ligne et la variable en colonne. N’utilisez pas de correction de continuité.
Un test d’ajustement du khi-deux vérifie si les effectifs de 8 catégories suivent une loi de Poisson dont la moyenne est estimée à partir des mêmes données. À l’aide de la table, trouvez la valeur critique χ²crit au seuil de signification α = 0,01.
Réponse: P = 0,02275
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Réponse: P = 0,8849
Sommes et différences de variables normales : si X et Y sont indépendantes et normales, X + Y et X − Y sont aussi normales. Les moyennes s’additionnent ou se soustraient : E(X ± Y) = μX ± μY. Les variances s’additionnent toujours, même pour une différence : Var(X ± Y) = σX² + σY², donc σ = √(σX² + σY²). Les écarts-types ne s’additionnent jamais directement. Le total de n éléments indépendants de même loi a pour moyenne n·μ et pour écart-type σ·√n. Centrez et réduisez ensuite comme d’habitude : z = (x − moyenne)/σ et lisez Φ(z).
Réponse: E₂ = 10,65
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Réponse: n = 853
Intervalle de confiance pour une moyenne : x̄ ± marge d’erreur. Si l’écart-type σ de la population est connu, la marge vaut z·σ/√n ; si l’on ne dispose que de l’écart-type de l’échantillon s, utilisez t à n − 1 degrés de liberté : t·s/√n. Valeurs critiques : z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Pour obtenir une marge E ou moins, il faut n ≥ (z·σ/E)², arrondi à l’entier supérieur.
Une taille d’échantillon est un nombre entier, et arrondir vers le bas rendrait la marge trop grande.
Réponse: t = −1,813
Test sur une moyenne : la statistique de test mesure à combien d'erreurs types la moyenne de l'échantillon se trouve de la valeur affirmée dans H₀ : z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quand σ est connu, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quand il est estimé sur l'échantillon. Un intervalle de confiance vaut x̄ ± (valeur critique)·(erreur type).
|t| < 1.998, donc H₀ n’est pas rejetée au seuil de 5 % (bilatéral).
Réponse: n = 549
Taille d’échantillon pour un test : pour détecter un vrai décalage δ avec une puissance 1 − β dans un test z unilatéral au seuil α, l’erreur type doit vérifier δ = (z_α + z_β)·σ/√n, donc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrondi à l’entier supérieur.
Réponse: r = 0,975
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Réponse: e = −3,714
Régression par les moindres carrés : avec x̄ et ȳ les moyennes, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² et Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la droite ŷ = a + b·x a pour pente b = Sxy/Sxx et pour ordonnée à l’origine a = ȳ − b·x̄ ; elle passe donc toujours par (x̄, ȳ). Le coefficient de corrélation de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) est compris entre −1 et 1 ; r² est la part de la variation de y expliquée par la droite.
Le point se trouve en dessous de la droite.
Réponse: χ² = 1,632
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
df = 2. Pour α = 0,05, la valeur critique vaut 5,991 ; H₀ (indépendance) est donc non rejetée.
Réponse: χ²crit = 16,81
Tests du khi-deux : comparez les effectifs observés O aux effectifs E attendus sous H₀ avec χ² = Σ(O − E)²/E. Ajustement : E = n·p pour chaque catégorie, df = k − 1 (moins un de plus pour chaque paramètre estimé à partir des données). Indépendance dans un tableau r × c : E = total de la ligne × total de la colonne / total général, df = (r − 1)(c − 1). Rejetez H₀ lorsque χ² dépasse la valeur critique pour le α choisi.
Rejetez H₀ si le χ² calculé est supérieur à cette valeur.
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